Dejemos que $\langle(0, 2)\rangle$ denota el subgrupo generado por $(0, 2)$ en $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8$ .
Cómo puedo encontrar el orden de $(3, 1) + \langle(0, 2)\rangle$ en el grupo cociente $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8 /(0, 2)$ ?
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Xenph Yan
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Dejemos que $G$ sea un grupo, y $H$ un subgrupo normal de $G$ .
En el grupo cociente $G/H$ el elemento de identidad es el coset $H$ . Así, un elemento $gH\in G/H$ es la identidad si y sólo si $g\in H$ . Por definición, el orden de $gH\in G/H$ es el más pequeño $n\geq 1$ tal que $$(gH)^n=g^nH=H,$$ que (por nuestra observación anterior) es la misma que la más pequeña $n\geq 1$ tal que $g^n\in H$ .
Recordemos que, por convención, en un grupo abeliano escribimos la operación como " $+$ ", de modo que en lugar de referirse a $g^n=\underbrace{g\cdots g}_{n\text{ times}}$ escribimos $ng=\underbrace{g+\cdots+g}_{n\text{ times}}$ .
Así, lo que hay que hacer es determinar los elementos que componen el subgrupo $\langle (0,2)\rangle$ y, a continuación, calcular $g,2g,3g,\ldots$ donde $g=(3,1)$ hasta encontrar un $ng\in \langle (0,2)\rangle$ . El más pequeño de estos $n$ será el orden de $g$ .
Bueno $$((3, 1) + \langle(0, 2)\rangle)^n = (3, 1)^n + \langle(0, 2)\rangle = (3n, n) + \langle(0, 2)\rangle.$$
El orden de $(3, 1) + \langle(0, 2)\rangle$ es el menor valor positivo de $n$ tal que $((3, 1) + \langle(0, 2)\rangle)^n = \langle(0, 2)\rangle$ la identidad del grupo cociente $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_8/(0,2)$ .
¿Cuándo es $(3n, n) + \langle(0, 2)\rangle = \langle(0, 2)\rangle$ ? Precisamente cuando $$(3n, n) \in \langle(0, 2)\rangle = \{(0, 0), (0, 2), (0, 4), (0, 6)\}.$$
Así que tenemos que determinar el menor valor positivo de $n$ tal que $3n \equiv 0 \operatorname{mod} 4$ y $n \equiv 0, 2, 4, \operatorname{or} 6 \operatorname{mod} 8$ . Te lo dejo a ti.
