Utilizando un polinomio de Taylor para calcular el error en el uso de $x$ como una aproximación para $\sin{x}$

Question

Estoy tratando de calcular el error que implica el uso de $x$ para aproximar $\sin({1^\circ})$ . El polinomio de Taylor está centrado en $x=0$ (es decir $x_0=0$ ), por cierto. Como tengo que usar $x$ como la aproximación para $\sin({x}),$ Supongo que el polinomio de Taylor tendrá que ser de grado uno:

$$f(x)=e^x=P_1(x)+R_1(x)$$ ya que el polinomio $P_1(x)$ resulta en $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=\sin({0})+\cos({0})x=x$ .

Al calcular el resto (es decir $R_1(x)$ ), consigo que se dé por: $$\frac{f^{(1+1)}(z)}{(n+1)!}(x-x_0)^2$$ donde $z$ es un número real entre $x$ y $x_0$ . Entonces, al introducir la información para este caso, $$R_1(x)=\frac{f''(z)}{2!}x^2$$ Desde $f(z)=\sin({z})$ , $f''(z)=-\sin({z})$ . El error viene dado entonces por $|R_1(x)|=\lvert-\frac{1}{2}x^2 \sin{(z)}\rvert $ .

Tratando de encontrar los límites para el error específicamente cuando $x=1$ (ya que la pregunta pide el error en el uso de $x$ para aproximar $\sin(1^\circ)$ ) me da que el límite inferior es cero (si la estimación fuera perfectamente precisa, que no lo es). Sin embargo, tengo problemas para encontrar el límite superior. El valor máximo de | $\sin{(z)}$ | es 1 (ya que el valor absoluto de la función seno oscila entre 0 y uno). Como se me pide que calcule el error para cuando $x=1$ Creo que $x$ se supone que es $1$ . Esto significaría que el límite superior estaría dado por: | $-\frac{1}{2}(1)^2 $ | $=\frac{1}{2}$ . La respuesta dada, sin embargo, es que el error es aproximadamente $8.86 \cdot 10^{-7}$ .

¿Qué he hecho mal? Siempre me llamó la atención que $x$ sería una aproximación inadecuada para $\sin{(1^\circ)}$ ya que, en $x=1$ , $\sin({1^\circ})$ es muy pequeño, ciertamente menor que uno (el valor máximo de la función seno). No entiendo cómo el error puede ser tan relativamente pequeño.

Answer 1

El error es que se está introduciendo $x=1$ , en lugar de $x=1^\circ$ . Un título es $\frac{\pi}{180}$ radianes, por lo que debe establecer $x=\frac{\pi}{180}$ en su lugar.

(La forma correcta de pensar en esto es que la función seno se define simplemente por $\sin x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ . Cuando $x$ es una medida de ángulo en radianes entonces $\sin x$ definida de esta manera coincide también con la función geométrica "seno" que se aprende en trigonometría. Pero si se mide $x$ en grados no lo hace).

Además, se puede obtener un límite superior mucho mejor para el $\sin(z)$ parte. Como $z$ está entre $0$ y $1^\circ$ y el seno es creciente en este intervalo, lo más que $\sin(z)$ podría ser es $\sin 1^\circ=\sin\frac{\pi}{180}$ . Por supuesto, usted está tratando de estimar $\sin\frac{\pi}{180}$ por lo que aún no tienes un valor exacto para esto que puedas introducir. Pero puedes usar esto para obtener iterativamente un mejor límite para el error: una vez que tengas un límite para el error diciendo $|\sin(z)|\leq 1$ , se puede entonces conectar el límite en $\sin \frac{\pi}{180}$ que tienes como un nuevo límite en $|\sin z|$ para obtener una mejor estimación del error.