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Funciones que satisfacen $\sum_{n=0}^k(-1)^n\binom{k}{k-n}f^{k-n}(x)=0$ .

Esta pregunta fue motivada por lo siguiente un . Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función continua. Definir $f^n(x)=f\circ f\circ\cdot\cdot\cdot\circ f$ , $n$ tiempos, $f^0(x)=x$ y $k\geq 2$ un número entero. Supongamos que $f$ satisface la ecuación: $$\tag{1}\sum_{n=0}^k(-1)^n\binom{k}{k-n}f^{k-n}(x)=0$$

Obsérvese que, para cada fijo $a\in\mathbb{R}$ , $f_a(x)=x+a$ satisface $(1)$ . ¿Son las únicas soluciones de $(1)$ de la forma $f_a$ para algunos $a$ ? Tenga en cuenta también que $f_a$ es una solución de la ecuación $$\tag{2}(f-I)^k(x)=a$$

La misma pregunta se aplica aquí: ¿Es la única solución de $(2)$ de la forma $f_a$ ? Si dejamos que $a$ varían en $(2)$ , obtenemos una familia de ecuaciones. Esa familia de ecuaciones equivale a $(1)$ ?

2voto

psychotik Puntos 171

Primero intenté modificar la prueba en el enlace de la pregunta, pero pronto me di cuenta de que la prueba se mantiene debido a la forma particular que se satisface en el caso $n = 2$ .

En cambio, pude deducir una respuesta parcial:

Propuesta. Supongamos que una función continua $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ satisface $$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{n-k} f^k (x) = a, \quad \forall x \in \Bbb{R} \tag{1}$$ para algún número real $a \in \Bbb{R}$ y algún número entero $n \geq 1$ . Si además suponemos que $f$ tiene al menos un punto fijo, entonces $f$ es la función de identidad.

En primer lugar, observamos las siguientes propiedades.

Lema 1. Dejemos que $f$ sea una función continua que satisfaga $(1)$ . Es decir, que $f$ satisfacen la suposición de la Proposición, excepto que $f$ tiene un punto fijo. Entonces $f$ es una biyección creciente desde $\Bbb{R}$ en $\Bbb{R}$ .

Prueba. Supongamos que $f(x) = f(y)$ . Entonces

$$ x = (-1)^n a - \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{k} f^k (x) = (-1)^n a - \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{k} f^k (y) = y $$

y $f$ es inyectiva. En particular, $f(\Bbb{R})$ es un intervalo abierto.

Para demostrar la subjetividad de $f$ , supongamos que $f$ no es sobreyectiva. Entonces, o bien $\sup f$ o $\inf f$ es finito, y en cualquier caso podemos encontrar un número real $\alpha \in \Bbb{R}$ y una secuencia de números reales $x_j$ tal que $|x_j| \to \infty$ y $f(x_j) \to \alpha$ como $j \to \infty$ . Pero esto implica

\begin {align*} \infty = \lim_ {j \to\infty } \left | x_j \right | = \lim_ {j \to\infty } \left | (-1)^n a - \sum_ {k=1}^{n} \binom {n}{k} (-1)^{k} f^k (x_j) \right | = \left | (-1)^n a - \sum_ {k=1}^{n} \binom {n}{k} (-1)^{k} f^{k-1}( \alpha ) \right | < \infty , \end {align*}

una contradicción. Por lo tanto, $f$ es sobreyectiva. En particular, $f$ es un homeomorfismo y es creciente o decreciente.

Para demostrar que $f$ es creciente, supongamos que $f$ es decreciente. Entonces $(-1)^{k-1} f^{k}$ es decreciente para cualquier $k \geq 1$ . Por lo tanto, el lado derecho de

$$ x = (-1)^n a + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{k-1} f^k (x) $$

también es decreciente, una contradicción. Esto completa la prueba. ■

Lema 2. Supongamos que $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ sea una biyección continua creciente, de modo que se extienda a una biyección continua $\bar{f}$ de $\bar{\Bbb{R}} = [-\infty, \infty]$ en $\bar{\Bbb{R}}$ . Entonces, para cualquier $x \in \bar{\Bbb{R}}$ tenemos la siguiente tricotomía:

  1. Si $x < f(x)$ entonces $f^k (x)$ converge al punto fijo más pequeño de $\bar{f}$ mayor que $x$ .
  2. Si $x > f(x)$ entonces $f^k (x)$ converge al mayor punto fijo de $\bar{f}$ más pequeño que $x$ .
  3. Si $x = f(x)$ entonces $f^k (x)$ converge a $x$ .

Prueba. Desde $\bar{f} : \bar{\Bbb{R}} \to \bar{\Bbb{R}}$ es continuo, el conjunto $F = \{ \bar{f}(x) = x : x \in \bar{\Bbb{R}} \}$ es un conjunto cerrado que contiene tanto $\infty$ y $-\infty$ . Si $F = \bar{\Bbb{R}}$ no hay nada que probar y asumir que $F^c \neq \varnothing$ . Desde $F^c$ está abierto en $\Bbb{R}$ podemos descomponerlo como una unión contable de intervalos abiertos disjuntos $U_j$ . Tenga en cuenta que en cada $U_j$ , ya sea $f(x) > x$ de forma idéntica para todos los $x \in U_j$ o $f(x) < x$ de forma idéntica para todos los $x \in U_j$ por la continuidad de $f$ .

Ahora dejemos que $x \neq f(x)$ . Entonces $x \in U_j$ para algunos $j$ . Supongamos primero que $x < f(x)$ . Entonces, para cualquier $x < y \leq f(x)$ tenemos $f(y) > f(x) \geq y$ y tenemos $[x, f(x)] \subset U_j$ . En particular, $f(x) \in U_j$ . Ahora bien, este argumento puede aplicarse repetidamente para obtener que $f^k (x) \in U_j$ para todos $k$ . Desde $f^k(x)$ es monótona creciente, debe converger a algún punto $\alpha \in \bar{\Bbb{R}}$ . Es sencillo comprobar que $\alpha = \sup U_j$ y $\alpha$ es un punto fijo de $\bar{f}$ , demostrando la primera opción de la tricotomía. La segunda opción sigue exactamente la misma manera y la tercera opción es trivial. ■

Como consecuencia inmediata, obtenemos el siguiente corolario:

Corolario. Si $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ es una biyección continua creciente que tiene al menos un punto fijo, entonces para cualquier $x \in \Bbb{R}$ , ya sea $f^k (x)$ o $f^{-k} (x)$ converge a un punto fijo de $f$ .

Prueba. Dejemos que $U_j$ sea como en la prueba anterior. Si $x \in U_j$ entonces $f^k (x)$ y $f^{-k} (x)$ converge a $\sup U_j$ y $\inf U_j$ . Desde $f$ tiene un punto fijo, ya sea $\sup U_j$ o $\inf U_j$ es finito. ■

Ahora estamos preparados para demostrar la proposición.

Prueba de la proposición. Definir

$$g(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-1)^{n-1-k} f^k (x). $$

Es fácil observar que $g \circ f - g = a$ . Dejemos que $F$ sea el conjunto de puntos fijos de $f$ . Entonces $F$ es no vacía, por supuesto. Si elegimos un punto $\alpha \in F$ entonces

$$0 = g(f(\alpha)) - g(\alpha) = a.$$

En particular, tenemos

$$ g = g\circ f = g \circ f^{k} \quad \forall k \in \Bbb{Z}. $$

Por lo tanto, si $n = 1$ entonces $g(x) = x$ y esta identidad da como resultado inmediato $f(x) = x$ . Esto demuestra que podemos asumir $n \geq 2$ .

Teniendo en cuenta el corolario anterior, para cada $x \in \Bbb{R}$ , ya sea $f^{k}(x)$ o $f^{-k}(x)$ converge a un punto de $F$ . Por lo tanto, existe $\alpha \in F$ tal que

$$g(x) = g(\alpha) = 0,$$

donde la última desigualdad se cumple por la definición de $g$ junto con la suposición $n \geq 2$ . En conjunto, demostramos que si $(1)$ se mantiene para algunos $n \geq 2$ y $a \in \Bbb{R}$ entonces $(1)$ también es válido para $n-1$ en lugar de $n$ y $a = 0$ . Por lo tanto por la inducción matemática, obtenemos la conclusión deseada. ■

2voto

GmonC Puntos 114

Dejemos que $P\in\Bbb R[X]$ sea un polinomio de grado ${}<k$ , tal que su función polinómica $p:\Bbb R\to\Bbb R$ no es decreciente en ninguna parte (en otras palabras $p'(x)\geq0$ para todos $x\in\Bbb R$ Esto, obviamente, requiere $\deg P$ para ser impar). A continuación, $p^{-1}$ está bien definida y es continua. Definir $f:x\mapsto p(p^{-1}(x)+1)$ que también es continua, y satisface $f^n(p(x))=p(x+n)$ para todos $n$ . Ahora $$ \sum_{i=0}^k(-1)^i\binom k{k-i}f^{k-i}(p(x)) =\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom kip(x+k-i) =\Delta^k(p)(x+k) =0 $$ para todos $x\in\Bbb R$ , donde $\Delta$ es un operador de diferencias finitas definido por $\Delta g: x\mapsto g(x)-g(x-1)$ que disminuye el grado de las funciones polinómicas, por lo que $\Delta^k(p)=0$ de forma idéntica.

Desde $p$ es suryente esto demuestra que $f$ satisface su requisito y que la respuesta a su primera pregunta es negativa para $k\geq4$ . El contraejemplo más sencillo es $f:x\mapsto (\sqrt[3]x+1)^3$ .

0voto

user58697 Puntos 798

Considere un caso $k = 2$ : $$f(f(x)) - 2f(x) + x = 0$$ Dejemos que $f(x) = x + g(x)$ entonces $$g(x) = g(x + g(x))$$ Por ejemplo, $$g(\frac{x}{n}) = g(\frac{x}{n} + g(\frac{x}{n})) = ... = g(x + g(\frac{x}{n}))$$

Suponiendo que $g$ es contiguo a $0$ , $g(x + g(0)) = g(0)$ para cualquier $x$ Es decir, $g$ es una constante. Una mecánica similar funciona para otros $k$ también.

No sé cómo abordarlo sin un supuesto de contigüidad.

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