¿Se pueden cruzar dos productos cruzados con un producto cruzado?

Question

Si tenemos tres vectores: $n$ , $a$ y $b$ y quiero evaluar $$\frac{(n \times a)\times(n \times b)}{2}$$ , puedo FOIL esto para conseguir:

$$\frac{(n \times n) + (n \times b) + (a \times n) + (a \times b)}{2}$$ = $$\frac{(n \times b) + (a \times n) + (a \times b)}{2}$$

Answer 1

El producto triple vectorial fórmula es $$a \times (b \times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c$$ donde se necesitan los paréntesis porque el producto cruzado no es asociativo. Si aplicas esto obtienes $$(n \times a)\times(n \times b)=((n\times a)\cdot b)n-((n \times a)\cdot n)b\\ =((n\times a)\cdot b)n$$ porque el segundo producto punto es cero.