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¿cuál es la interpretación geométrica de la forma cuadrática por sí misma?

Pregunta original

Entiendo que la ecuación $\vec{x}^\top\mathbf{A}\vec{x} = r$ representa un elipsoide, es decir el espacio de solución de esa ecuación es un elipsoide, y se puede hacer la descomposición propia de $\mathbf{A}$ para indicarle el eje principal del elipsoide. Mi pregunta es cómo se puede interpretar el lado izquierdo de esa ecuación solo, es decir la forma cuadrática por sí misma?

Esto surge durante el PCA, donde estamos tratando de maximizar la forma cuadrática $\vec{x}^\top\mathbf{A}\vec{x}$ con la condición de que $\vec{x}^\top\vec{x} = 1$ . Mi intuición es que la forma cuadrática bajo restricción formará el "mismo" (o probablemente "similar" es una palabra más apropiada) elipsoide que la forma de la ecuación $\vec{x}^\top\mathbf{A}\vec{x} = 1$ y el $\vec{x}$ para maximizar la forma cuadrática sería sólo el eje largo, pero no pude probarme esto ni idear una manera formal de establecer esta imagen en mi mente. Perdonad de antemano si esto se ha preguntado antes (pero no lo he encontrado)... Cualquier ayuda será muy apreciada. ¡Gracias!

comentarios

La pregunta original es un poco vaga, y la pregunta "¿por qué los valores/vectores propios maximizan el término cuadrático?" está efectivamente planteada en otra parte, probablemente varias veces. Pido disculpas de nuevo por la duplicación. Sin embargo, me doy cuenta de que estaba imaginando algo más que no se encuentra en otras preguntas. Intentaré formalizarlo en la siguiente nueva pregunta:

nueva pregunta

Dejemos que $\mathbf{A}$ sea una matriz definida positiva, de modo que $\vec{x}^\top\mathbf{A}\vec{x} = 1$ representan un elipsoide. Sea $\vec{v}$ sea un vector que esté en la misma dirección que $\vec{x}$ y al mismo tiempo asumir la longitud de la forma cuadrática: $\lVert\vec{v}\rVert = \vec{x}^\top\mathbf{A}\vec{x}$ . Mi pregunta es cuál sería el gráfico de $\vec{v}$ ¿se ve así? ¿Puedes poner el círculo de la unidad $\vec{x}^\top\vec{x} = 1$ el elipsoide $\vec{x}^\top\mathbf{A}\vec{x} = 1$ y $\vec{v}$ en la misma parcela y desarrollar alguna relación geométrica intuitiva entre ellos? (para que quede claro, el vector $\vec{v}$ es lo que me imaginaba al decir "interpretación geométrica de la forma cuadrática por sí misma" en el título)

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Porque $A$ es simétrica, se puede escribir en la forma $P^TDP$ donde $P$ es una matriz ortogonal, es decir $P^{-1}=P^T$ y $D$ es una matriz diagonal con los valores propios de $A$ como los elementos diagonales. La cuestión es que $P$ conserva las longitudes, por lo que $||\vec{x}||=1$ si y sólo si $||P\vec{x}||=1$ . De ello se desprende que $\vec{x}^TA\vec{x}$ se maximiza cuando $\vec{y}=P\vec{x}$ es un vector propio que pertenece al mayor valor propio de $A$ . Eso es porque $$\vec{x}^TA\vec{x}=\vec{y}^TD\vec{y}$$ y con la matriz diagonal la solución es bastante obvia.

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Básicamente, usted maximiza $\vec{x}^TA\vec{x}$ dejando $\vec{x}$ para ser un vector unitario paralelo a la El más corto eje del elipsoide $\vec{x}^TA\vec{x}=1.$

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Una cuestión similar se ha estudiado al menos aquí . Probablemente también en otras partes de nuestro sitio. Compruebe los hilos en Relacionado en el margen derecho.

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Dunc Puntos 46

Puede que no sea una pregunta bien formulada, pero es una buena pregunta. Creo que la mejor intuición viene de pensar en un espacio vectorial 2d, y luego imaginar la forma cuadrática como la altura del paisaje a medida que se mueve alrededor, como un mapa topográfico.

La condición $x^T A x=1$ es un contorno de altura constante, y para A definida positiva será una elipse. La condición $x^Tx=1$ es, por supuesto, el círculo unitario, por lo que $x^T A x$ es el mapa de un punto del círculo unitario a la altura del paisaje en ese punto.

Para entender por qué los vectores propios dan los ejes mayor y menor de la elipse, considere la posibilidad de encontrar una altura mínima o máxima a medida que se mueve a lo largo del círculo unitario. Cuando te muevas alrededor del círculo sabrás que estás en un máximo o en un mínimo cuando la pendiente en ese punto sea ortogonal a tu trayectoria en el círculo. Si no es ortogonal, significa que ganarás o perderás altura al continuar con tu trayectoria. Por lo tanto, a medida que te desplazas $x$ se busca un punto en el que la pendiente sea ortogonal a la circunferencia unitaria, es decir, paralela a $x$ . Ahora la pendiente viene dada por el gradiente de la forma cuadrática que es $A x$ (hasta un factor de 2). Por lo tanto, lo que buscamos es un lugar donde $A x \propto x$ es decir, un vector propio.

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Una norma cuadrática es una función $f(x) = \mathbf{x^\top A x}$ que será una función cuadrática de $x_1, x_2, ... x_n$ . Este gráfico tendrá un aspecto diferente dependiendo de cómo encajen esas "parábolas" (esto dependerá de la matriz $\mathbf{A}$ ). Si $\mathbf{A}$ es positiva definida se puede ver como una generalización de una parábola 2D que apunta hacia arriba (la función $f$ será positivo para cualquier valor $x_1, x_2, ... x_n$ es decir $\mathbf{x^\top A x} > 0$ ), por lo que se obtiene un paraboloide elíptico. Del mismo modo, con la definición negativa $\mathbf{A}$ . De lo contrario, se obtendrá un paraboloide hiperbólico (silla de montar). La sección transversal del paraboloide elíptico es una elipse y la sección transversal del paraboloide hiperbólico es una hipérbola.

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Gracias por su respuesta. Supongo que esto es por definición la gráfica de la forma cuadrática, y sería n-dimensional. Sin embargo, me di cuenta de que estaba buscando una manera de poner esto en el mismo plano 2D donde $\vec{x}^\top\mathbf{A}\vec{x} = 1$ mentiras, si es que eso tiene algún sentido. He editado mi pregunta en consecuencia.

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@PhilDong Creo que deberías hacer una nueva pregunta en lugar de editar la original

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K B Dave Puntos 641

Primero, algunos antecedentes:

Llamar a un conjunto abc (uso de nonce) si es absorbiendo , equilibrado y (absolutamente) convexo . Una norma es lo "mismo" que un conjunto abc: para cualquier norma, la bola unitaria $\{x|\lVert x\rVert <1\}$ es abc, y para cualquier conjunto abc, el Funcional de Minkowski es una norma.


Supongamos ahora que $A$ y $B$ son conjuntos abc, y sea $\lVert\quad\rVert_A$ , $\lVert\quad\rVert_B$ sean las normas correspondientes. Entonces, para cualquier vector no nulo $\mathbf{x}$ , $\frac{\lVert \mathbf{x}\rVert_A}{\lVert \mathbf{x}\rVert_B}$ es la proporción $\lambda$ necesitamos dilatar $A$ sobre el origen para que $B$ y el dilatado $\lambda A$ coinciden en la línea $L_{\mathbf{x}}$ de paso $\mathbf{0}$ y $\mathbf{x}$ :

$$\lambda A\cap L_{\mathbf{x}}= B\cap L_{\mathbf{x}}\text{.}$$

Probablemente sea útil dibujar el caso en el que $A$ es un disco y $B$ es una elipse rellena.

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