Así que supongo que primero deberíamos preguntarnos qué hace la compactación por nosotros. En la teoría de cuerdas, específicamente en la teoría de cuerdas bosónica para estar en línea con su ejemplo, usted tiene $D=26$ dimensiones del espacio-tiempo que están fijadas por un conjunto de condiciones de consistencia. Esto ocurre cuando se intenta cuantificar la teoría, por lo que, a todos los efectos, esta característica de las dimensiones adicionales del espaciotiempo sólo es necesaria a escalas muy pequeñas. A grandes escalas, queremos que la teoría sea $D=4$ dimensiones del espacio-tiempo.
La compactación es un enfoque geométrico para obtener dicho resultado. La idea es que en lugar de trabajar en $\mathbb{R}^{1,25}$ se postula que, en realidad, se trabaja sobre un colector de la forma $\mathbb{R}^{1,3}\times K$ , donde $K$ es una variedad compacta cuyos efectos se manifiestan sólo cuando las escalas son lo suficientemente pequeñas. Por lo tanto, para escalas muy pequeñas $\mathcal{M}$ (el colector de espacio-tiempo en el que estás trabajando) se parece a tu $26$ espacio-tiempo dimensional, pero para grandes escalas, $\mathcal{M}$ parece el típico $4$ espacio-tiempo de Minkowski $\mathbb{R}^{1,3}$ . De esta manera, se satisfacen todas las condiciones de consistencia necesarias y tienen una teoría que, en principio, describe nuestra realidad.
Un buen punto de partida para intentar comprender la compactación es el ejemplo que has mencionado: la compactación alrededor de un círculo $S^1_R$ de radio $R$ . Si intentamos pensar cómo es este espacio, podría ser útil ir a $\mathbb{R}^{1,2}\times S^1_R$ para simplificar:
![enter image description here]()
Así que puedes imaginar que en cada punto $(X^0,X^1,X^2)$ Ha adjuntado un $S^1_R$ . Esto nos aporta dos cosas. En primer lugar, cuando $R$ es lo suficientemente pequeño, nuestro espacio parece $\mathbb{R}^{1,2}$ que corresponde a las grandes escalas. Cuando $R$ es lo suficientemente grande, el espacio tiene una dimensión espacial adicional para satisfacer las condiciones de consistencia. En segundo lugar, esto fija el tamaño de la dimensión adicional, que a su vez fija las propiedades físicas de la cuerda. La condición de contorno $$X^3(\tau,\sigma+\pi)=X^3(\tau,\sigma)+2\pi RW$$ es una declaración que el grado de libertad espacial adicional de una cuerda cerrada está contenido únicamente en $S^1_R$ o más generalmente, todos los grados de libertad espaciales adicionales están contenidos únicamente en el espacio compacto $K$ . Así que este procedimiento agrupa esencialmente todos los grados de libertad espaciales adicionales en el espacio compacto $K$ y así, las características físicas de las cuerdas dependen ahora puramente de la geometría de $K$ .
Ahora bien, no hay nada en la condición de contorno que fije la extensión física real de la cuerda. Para las coordenadas $X^0,X^1,X^2$ , cambiando $\sigma$ de decir $0$ à $\pi$ sólo nos devuelve a nuestro punto original en la cadena. Pero para $X^3$ Aunque terminamos en el mismo punto sobre $S^1_R$ dando una vuelta a la cadena, la longitud real de la cadena puede ser, por supuesto, mayor que $\pi$ . ¡Esto es lo que nos dice el número de bobinado! Por supuesto $W\in\mathbb{Z}$ ya que la cadena está cerrada, por lo que es mejor que haga un bucle alrededor $S^1_R$ pero también podemos tomar $\sigma=2\pi$ que hace un bucle de la cadena alrededor de $S^1_R$ dos veces!, o $\sigma=n\pi$ que hace un bucle de la cadena alrededor de $n$ -¡Veces! El número de veces que la cadena hace un bucle $S^1_R$ se relaciona con su momento, que luego fija la masa de la cuerda, etc. Esto nos remite a lo que dije sobre que las características físicas de la cuerda están contenidas (o determinadas) por la geometría de $K$ . Tenga en cuenta que al cambiar $R$ en nuestro $S^1_R$ compactación, cambiamos las propiedades físicas de la cuerda.
Desde un punto de vista más matemático $$S^1_R\cong\mathbb{R}/2\pi R\mathbb{Z}.$$ Así que $S^1_R$ no es más que el espacio del cociente: La línea real $\mathbb{R}$ modulo $2\pi R\mathbb{Z}$ . Así que topológicamente hablando, $X^3\in S^1_R=[0,2\pi R]$ es decir, $X^3\in [0,2\pi R]$ . Pero sabemos que $[X^3]=X^3+2\pi R\mathbb{Z}$ que es el conjunto de puntos de la forma $X^3+2\pi Rn$ con $n\in\mathbb{Z}$ . Ahora la condición de contorno impone que $X^3(\tau,\sigma+\pi)=X^3+2\pi RW$ con $W\in\mathbb{Z}$ Así que $\sigma\in[0,\infty)$ es decir, la longitud física de la cuerda puede ser, en principio, arbitrariamente grande, pero para cualquier $\sigma\in [0,\infty)$ , $X^3\in [0,2\pi R]$ . Ahora sabemos que la longitud física de la cuerda es proporcional a la tensión de la cuerda, que es proporcional a la masa de la cuerda. Así que el número de envoltura $W=n$ sólo se utiliza para codificar eso. Finalmente $$\lim_{R\rightarrow 0}(S^1_R)=\{X^3\},$$ y así $$\lim_{R\rightarrow 0}\left(\mathbb{R}^{1,2}\times S^1_R\right)=\mathbb{R}^{1,2}\times\{X^3\}\cong\mathbb{R}^{1,2}.$$ Por supuesto, hay muchos más detalles matemáticos y toda la teoría es bastante complicada, sólo he esbozado algunas ideas básicas. Por favor, siéntase libre de corregirme en cualquier punto. Espero haber dado una explicación decente.
