METODOLOGÍA $1$ : Enfoque de pre-cálculo
En ESTA RESPUESTA En el caso de la función logarítmica, demostré utilizando sólo la definición de límite de la función exponencial y la desigualdad de Bernoulli que la función logarítmica satisface las desigualdades
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1} \tag 1$$
Dejar $x$ ser sustituido por $1+\alpha(x)$ sur $(1)$ revela
$$\frac{\alpha(x)}{1+\alpha(x)}\le \log(1+\alpha(x))\le \alpha(x)\tag 2$$
Entonces, observando que $(1+\alpha(x))^{1/\alpha(x)}=e^{\frac{1}{\alpha(x)}\log(1+\alpha(x))}$ y aplicando $(2)$ encontramos que
$$e^{\frac{1}{1+\alpha(x)}}\le (1+\alpha(x))^{1/\alpha(x)}\le e \tag3$$
por lo que aplicando el teorema de la compresión a $(3)$ da el codiciado resultado
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to a}(1+\alpha(x))^{1/\alpha(x)}=e}$$
METODOLOGÍA $2$ : Análisis asintótico
Tenemos para $\alpha(x) \to 0$ como $x\to a$
$$\begin{align} (1+\alpha(x))^{1/\alpha(x)}&=e^{\frac{1}{\alpha(x)}\color{blue}{\log(1+\alpha(x))}} \\\\ &=e^{\frac{1}{\alpha(x)}\color{blue}{\left(\alpha(x)+O\left(\alpha^2(x)\right)\right))}}\\\\ &=e^{1+O(\alpha(x))}\\\\ &\to e\,\,\text{as}\,\,x\to a \end{align}$$
En el desarrollo aquí realizado, utilizamos la expansión asintótica $\displaystyle \log(1+t)=t+O(t^2)$ .
