Recuerdo de mi curso de Análisis Real que los números racionales $\mathbb{Q}$ no son adecuados para hacer cálculos, y creo que la razón era que $\mathbb{Q}$ no posee la propiedad del límite inferior superior, lo que crea problemas al definir la continuidad y calcular los límites de las sumas de Riemann. (Esto se discute con más detalle aquí: Importancia de la propiedad del límite superior mínimo de $\mathbb{R}$ )
Así que, $\mathbb{R}$ tiene algunas propiedades deseables. Por otro lado, creo que también tiene algunas propiedades indeseables. Por ejemplo:
- $\mathbb{R}$ es incontablemente infinito, lo que significa que nunca podríamos enumerar todos los números reales, incluso con tiempo y espacio infinitos (como demuestra el argumento diagonal de Cantor)
- En cambio, el conjunto de números computables es contablemente infinito. Esto significa que la gran mayoría de los números reales no pueden describirse de ninguna manera algorítmica. En consecuencia, es imposible representar la gran mayoría de los números reales en un sistema de álgebra computacional, incluso si se dispone de una cantidad ilimitada de memoria de trabajo.
Esto parece un problema filosófico para el cálculo, y me interesaría saber si alguien ha encontrado una alternativa viable para usar en lugar de $\mathbb{R}$ .
En particular, si utilizamos el conjunto de números computables en lugar de $\mathbb{R}$ ¿podemos definir el cálculo diferencial e integral con sentido y evitar las limitaciones de $\mathbb{R}$ ¿mencionado anteriormente? (Después de todo, los números irracionales "importantes", incluyendo $e$ y $\pi$ y los irracionales algebraicos, están todos incluidos en los números computables, así que dudo que se nos escape algún número del que hayamos oído hablar).
Nota: El artículo de Wikipedia sobre los números computables (citado anteriormente) habla un poco de esto, pero los detalles (en el momento de escribir esto) son un poco escasos. Menciona el "análisis computable", una rama "constructivista" de las matemáticas que intenta utilizar números computables en lugar de $\mathbb{R}$ . El artículo dice:
Los números computables forman un campo real cerrado y pueden utilizarse en lugar de los números reales para muchos fines matemáticos, aunque no todos.
pero no dice con precisión para qué pueden o no pueden utilizarse los números computables, especialmente en lo que respecta al cálculo.
Además, soy consciente de que esta cuestión es totalmente discutible en la práctica, ya que la memoria finita de los ordenadores significa que sólo podemos utilizarlos para manipular un conjunto finito de números (lo mismo ocurre con nuestros cerebros finitos). Pero sigue pareciendo interesante desde una perspectiva teórica.
