Adelización de formas automórficas para un número de clase superior

Question

Versión corta ¿existe una manera canónica de adelantar una forma autónoma clásica de Hecke cuando el cociente adelico tiene muchos componentes? Si no, ¿cuáles son las diferentes "opciones", cuántas, etc.?

Algunos detalles esbozados : Dejemos que $A$ sea un álgebra central simple sobre un campo numérico $F$ Por ejemplo $A$ es el álgebra matricial sobre $F$ . Sea $\mathcal{O} \subset A$ sea un orden, por ejemplo, el anillo de matrices sobre el anillo de enteros $\mathfrak{o}$ de $F$ . El cociente adelanto $A^\times \backslash \hat{A}^\times / \hat{\mathcal{O}}^\times$ es (asumiendo alguna condición de Eichler) una unión disjunta parametrizada por el grupo de clases $F^\times_{>0} \backslash \hat{F}^\times / \operatorname{nr}(\hat{\mathcal{O}}^\times)$ (véase Thm. 28.5.5 en Voight's Quaternion Algebras). Este grupo de clases puede ser no trivial si $F$ tiene un grupo de clase estrecho no trivial o si el orden $\mathcal{O}$ es pequeño, más precisamente si la imagen de la norma local $\operatorname{nr}(\mathcal{O}^\times_\mathfrak{p})$ no logra ser todo el grupo de unidades $\mathfrak{o}_\mathfrak{p}^\times$ , donde $\mathfrak{p}$ es un primo de $F$ .

Cada uno de estos componentes corresponde a un espacio localmente simétrico (por ejemplo, para las álgebras de cuaterniones sería un cociente aritmético del semiplano superior). De este modo, cada forma automórfica anticipativa viene dada por una tupla de formas automórficas clásicas sobre estos componentes (véase, por ejemplo, el artículo de Shimura sobre las formas modulares de Hilbert de 1978).

Si uno tiene una forma automórfica clásica en uno de estos componentes y suponemos que también es una eigenforma de Hecke, entonces hay una manera canónica de elegir formas en los otros componentes para que la correspondiente forma adelica sea una eigenforma de Hecke. Por supuesto, la eigenforma de Hecke tiene aquí dos significados, refiriéndose al álgebra clásica y al álgebra global de Hecke respectivamente. ¿Hay alguna referencia para esto?

Answer 1

$\newcommand{\p}{\mathfrak{p}}$ Dejemos que $C$ sea el grupo de clases que parametriza los componentes, digamos $X = \bigcup_{c\in C}X_c$ . Entonces el operador de Hecke $T_\p$ envía el componente $X_c$ à $X_{c\p}$ . En particular, los operadores de Hecke que preservan los componentes son los $T_\p$ donde la clase de $\p$ en $C$ es trivial. Si $f$ es una forma propia en un componente $X_c$ , entonces puedes ampliarlo con $0$ en las otras componentes, pero normalmente no va a ser una eigenforma para toda el álgebra de Hecke. Si se observa la representación automórfica generada por esta extensión, en general no será irreducible, pero será una suma finita $\bigoplus_{\chi}\pi\otimes\chi$ donde $\pi$ es una representación automórfica y $\chi$ abarca un subconjunto de caracteres de $C$ .

Prueba de la última afirmación: Sea $\pi$ y $\pi'$ sean dos representaciones irreducibles que aparecen en la descomposición de la representación generada por $f$ . Entonces el $T_\p$ -valores propios de $\bigoplus_{\chi \in C}\pi \otimes \chi$ y $\bigoplus_{\chi \in C}\pi' \otimes \chi$ están de acuerdo para casi todo $\p$ (determinado por $f$ si la clase de $\p$ es trivial en $C$ y $0$ en caso contrario), por lo que estas representaciones son isomorfas, y $\pi'$ es uno de los $\pi\otimes\chi$ . Junto con el teorema de la multiplicidad uno, esto demuestra la afirmación.