Cubos para microondas

Question

En primer lugar, un poco de historia. El microondas no calienta de manera uniforme. Para ayudar a superar esto, los alimentos se rotan, sin embargo esto no suele ser suficiente para producir un calentamiento totalmente uniforme. De manera informal, esta es la pregunta: ¿Existe alguna forma de mover los alimentos para que se calienten uniformemente?

Dejemos que $f : \mathbb{R}^n \to R$ sea nuestra función calorífica. Sea $I^n = [-0.5,0.5] \times \cdots \times [-0.5,0.5]$ sea el cubo unitario de n dimensiones centrado en el origen; será nuestra comida. Sea $\gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^n \times SO(n)$ sea un mapa que especifique una trayectoria a lo largo de la cual trasladar y rotar $I^n$ . Si $x \in I^n$ entonces deja que $h(x)$ denotan el calor total absorbido por $x$ mientras viaja a lo largo de $\gamma$ .

Tenga en cuenta que si $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$ entonces $h(x) = \int_0^1 f(\gamma_2(t)(x) + \gamma_1(t)) dt$ .

Llamaremos a una curva $\gamma$ "uniformemente calentado" si $\forall x,y \in I^n$ , $h(x) = h(y)$ .

Lo suficientemente agradable debe ser nuestra función de calor $f$ para garantizar que existe una curva uniformemente calentada? ¿Cambian estos requisitos si consideramos un alimento diferente para calentar, por ejemplo, si calentamos $I^m \times 0^{n-m}$ en $\mathbb{R}^n$ ?

Tenga en cuenta que en $\mathbb{R}^1$ , como $SO(1) = 1$ , si $f$ es una función estrictamente monótona, entonces no puede existir ninguna curva uniformemente calentada ya que (asumiendo wlog $f$ es creciente) $h(-0.5) < h(0.5)$ .

Answer 1

Se puede cocinar el cubo de manera uniforme si $f$ es armónico, es decir $\Delta f=0$ . Tenga en cuenta que, si por ejemplo $\Delta f>0$ en todas partes, entonces el centro del cubo siempre recibirá menos calor que el promedio sobre una esfera con el mismo centro. Por lo tanto, si $\Delta f$ resulta tener signo constante, debe ser cero.

Para conseguir una cocción uniforme en el caso armónico, deja que el centro del cubo permanezca en el origen y gira el cubo utilizando una curva tipo Peano $\gamma:[0,1]\to SO(n)$ tal que la medida de empuje hacia adelante $\gamma_*m$ (donde $m$ es la medida de Lebesgue en $[0,1]$ ) es la medida de Haar normalizada en $SO(n)$ . Entonces el calor recibido por un punto $x\in I^n$ es la media de $f$ sobre la esfera de radio $r=|x|$ centrado en el origen. Dado que $f$ es armónico, este valor medio es igual a $f(0)$ .

Para construir dicha curva $\gamma$ , siga el procedimiento estándar para la curva de Peano: partición $SO(n)$ en conjuntos razonables (conectados y con límites suaves a trozos) y visitarlos todos por un camino continuo; este camino es la primera aproximación. A continuación, se subdivide la partición y se modifica el camino para que visite todas las subpartes, pero sin hacer nuevas intersecciones con los límites de las antiguas partes. Y así sucesivamente. En cada paso, elija la parametrización para que el tiempo que pasa en cada pieza sea igual a su volumen Haar. Si los diámetros llegan a cero, las trayectorias convergerán a una curva tipo Peano $\gamma$ . La medida de empuje $\gamma_*m$ coincide con la medida de Haar en todos los elementos de las particiones y, por tanto, en todos los conjuntos de Borel.

Observación. Un truco similar funciona si $f$ tiene un soporte compacto (más precisamente, su soporte debe estar separado de las paredes del microondas por una distancia de al menos 1). Basta con desplazarse para realizar una medida de Haar en el subconjunto correspondiente del grupo de traslación en lugar de $SO(n)$ .