Consideremos el operador lineal "swap" $s: v_1 \otimes v_2 \mapsto v_2 \otimes v_1 $ , para $v_1 \otimes v_2 \in \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n$
Se supone que debo demostrar que sus eigenspaces son subespacios invariantes de $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n$ bajo algún otro operador lineal. En las soluciones de mi ejercicio sólo consideran los casos $s v_{\pm}=\pm v_{\pm}$ para $v_{\pm} \in \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n $ por lo que parece que los únicos valores propios posibles de s son $\pm 1$ ¿podría alguien explicar por qué es así?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que $s$ es su propia inversa. Sea $v$ sea un vector propio con valor propio $\lambda$ Entonces $v = s(s(v)) = s (\lambda v) = \lambda^2 v$ . Entonces $v (\lambda^2 - 1) = 0$ por lo tanto, ya que $v$ es distinto de cero, tenemos $\lambda^2 - 1 = 0$ y por lo tanto $\lambda = \pm 1$ .
De forma un poco más general, si $s$ es cualquier operador lineal, $P$ es un polinomio, $P(s) = 0$ y $\lambda$ es un valor propio, entonces $P(\lambda) = 0$ . El $P$ en este caso es $P(x) = x^2 - 1$ .
