Sobre las hipótesis para que un anillo contenga un ideal máximo

Question

La mayoría de las pruebas que veo de que todo anillo tiene un ideal máximo (con el lema de Zorn) asumen que el anillo es conmutativo y tiene unidad. Sin embargo, al elaborar mi propia prueba -suponiendo que los ideales de los anillos no conmutativos son bilaterales- no utilicé la hipótesis de conmutatividad. O bien mi demostración es errónea o la hipótesis de conmutatividad es superflua. Me preguntaba cuál de estas condiciones, entre conmutatividad y tener unidad, es necesaria para que se cumpla el teorema.

Answer 1

Tener una unidad es definitivamente necesario. Considere el anillo $\mathbb{Q}$ donde la suma es una adición normal pero la multiplicación viene dada por $x\cdot y =0$ para todos $x,y \in \mathbb{Q}$ . Entonces los ideales son simplemente subgrupos aditivos de $\mathbb{Q}$ de los cuales no hay elementos máximos. Esta entrada habla de algunos ejemplos más interesantes Un ejemplo (no artificial) de un anillo sin ideales máximos

La condición de que $R$ ser conmutativo no es necesario. Parece que tu prueba sería correcta. El mismo esquema de una prueba se da aquí .