Un conjunto simple e incontable linealmente independiente en $V^*$ ( $V$ dual--- el espacio de secuencias infinitas de reales) es la colección de vectores:
$A^r_n = r^n$
Para todos los valores reales no nulos $r$ . No puede haber una relación lineal entre $M$ de estos, sólo restringiendo a la primera $M$ posiciones, debido a la no evanescencia del determinante de Vandermonde. Esto no responde a la pregunta.
La pregunta 4 es sencilla： $V^*$ es el espacio de todas las secuencias infinitas, y el espacio de las secuencias finitas punteadas en éstas dan mapas lineales no triviales. La pregunta interesante es si estos son todos los mapas lineales en ausencia de elección.
Para la pregunta 5: si los argumentos de probabilidad funcionan (es decir, si cada subconjunto de $\mathbb R$ es medible) entonces $V^*$ no tiene una base.
Comentario preliminar: Si $m$ y $n$ son dos enteros positivos distribuidos ambos con una distribución de probabilidad $P$ su suma $m+n$ no tiene la misma distribución $P$ . Para demostrarlo, dejemos que $N>0$ sea la primera posición entera en la que $P(N)$ es distinto de cero. Entonces $m\ge N$ , $n\ge N$ Así que $m+n\ge 2N$ por lo que la probabilidad de que $m+n$ es $N$ es cero.
Supongamos que existe un conjunto de bases $B$ . Entonces cualquier vector $v$ en $V^*$ tiene un grado entero $n$ y $n$ elementos determinados unívocamente de $B$ , $e_1,...,e_n$ tal que $v$ es una combinación lineal del $e$ 's. Generar la secuencia $A_n$ eligiendo un número aleatorio gaussiano con anchura $1$ en cada posición $n$ . Generar $B_n$ de la misma manera. Entonces el grado de $A$ es un número entero $n$ con una distribución de probabilidad $P(n)$ y el grado de $B$ es un número entero $m$ con una distribución de probabilidad $P(m)$ . El grado de $(A+B)/\sqrt{2}$ es entonces $m+n$ añadiendo la expansión de $A$ y la expansión de $B$ (no hay posibilidad de que $A$ y $B$ comparten elementos de base, la probabilidad de encontrar cualquier subespacio de dimensión finita es cero), y su distribución es la de la suma de dos enteros aleatorios con distribución $P$ . Pero $(A+B)/\sqrt{2}$ se distribuye idénticamente con $A$ y $B$ por lo que su grado debe tener una distribución $P$ y no hay tal distribución $P$ en números enteros positivos.
Repito el argumento en la forma que se me ocurrió para que el resto de la respuesta sea más evidente. Una inspección más detallada revela que los conjuntos no medibles aquí son los conjuntos de todos los vectores con grado $n$ . Estos se unen a todo el espacio, por lo que tienen que sumar a la medida completa, pero el más grande $n$ grados, necesariamente inundan la parte inferior $n$ grados en la medida debido a las propiedades de la combinación lineal, prohibiendo una asignación consistente de medidas.
Para la cuestión principal, preguntas 1,2,3, demuestro que la existencia de cualquier mapa $f$ en $V^{**}$ que no sean las dadas por el punteado con elementos de $V$ , conduce a una contradicción probabilística o a un ultrafiltro no principal en los enteros. Ambos no pueden ser "explícitos", por lo que no hay ningún mapa lineal explícito en $V$ dobles que no sean las imágenes canónicas de los de $V$ .
Propuesta: $f$ de cualquier secuencia infinita de números aleatorios gaussianos independientes es de distribución gaussiana.
Prueba: sean dos selecciones de la secuencia $S$ y $S'$ , $(a S+ b S')\over \sqrt{a^2 + b^2}$ se distribuye idénticamente como $S$ y $S'$ Así que $(a f(S) + b f(S'))\over\sqrt{a^2 + b^2}$ se distribuye idénticamente como $f(S)$ . Tenga en cuenta también que $f(-S)=-f(S)$ para que la distribución de probabilidad de $f$ es simétrica en torno a cero. Esto implica que $f$ tiene las propiedades de convolución de una gaussiana simétrica respecto a cero, y por tanto es una gaussiana con media cero (o una función delta en cero, que llamaré gaussiana de anchura cero más adelante).
Esto significa que la función lineal $f$ da un mapa $\Sigma$ de cada secuencia de varianzas a una varianza. La función $f$ tiene una varianza $\Sigma(\sigma_k)$ cuando se evalúa en la secuencia de variables aleatorias gaussianas de varianza $\sigma_k$
Propuesta: Si las desviaciones $\sigma_k$ son individualmente mayores que $\sigma'_k$ entonces $\Sigma(\sigma)>\Sigma(\sigma')$
Prueba: Sea $\alpha_k$ sea tal que $\alpha_k^2 + \sigma_k^{'2} = \sigma_k^2$ . Generar una secuencia de selecciones aleatorias gaussianas $A_k$ con la varianza $\sigma'_k$ y una segunda secuencia gaussiana $B_k$ con la varianza $\alpha_k$ . Por construcción, $A_k+B_k$ tiene una secuencia de varianza $\sigma_k$ .
$f(A)$ , $f(B)$ y $f(A+B)=f(A)+f(B)$ se distribuyen de forma gaussiana, y la varianza de $f(A)$ al cuadrado más la varianza de $f(B)$ al cuadrado es igual a la varianza de $f(A+B)$ al cuadrado. Esto demuestra el resultado.
Teorema: Definir la secuencia $A^N_n$ sea cero para $n\le N$ y un número aleatorio gaussiano con varianza unitaria para $n>N$ . Si los argumentos probabilísticos funcionan, hay una $N$ para lo cual $f$ en $A^N$ es cero con probabilidad $1$ .
Prueba: Si $f$ en $A^k$ es distinto de cero para todos los $k$ , considere la suma infinita
$S = C_1 A^1 + C_2 A^2 + C_3 A^3 + C_4 A^4 + \cdots$
ya que cada $A^k$ es cero en el primer $k$ posiciones, esto sólo define $S$ como una secuencia de Gaussianos de varianza creciente (esto no es realmente una suma infinita--- es sólo un truco para escribir una secuencia infinita de varianzas de una manera más esclarecedora). Para cualquier secuencia $C_1, C_2, C_3, \ldots$ la función $f$ produce una gaussiana con una anchura determinada que es una función no decreciente del $C$ 's.
Por supuesto, $f(A^k)$ tiene alguna varianza no nula $a_k$ para todos $k$ . Elija $C_k$ para ser $1/a_k$ . Entonces la anchura de $f$ en $S$ es mayor que cualquier número entero $k$ una contradicción.
Por lo tanto, hay un número entero $N$ tal que $f$ tiene varianza cero actuando desde algún $A^N$ en, es decir $f$ actuando sobre una secuencia que es cero en el primer $N$ posiciones, y aleatoria gaussiana con varianza unitaria en las posiciones restantes, da $0$ con certeza.
Lo que queda es tratar el caso de que $f$ es distinto de cero en algún vector específico $v$ que no tiene ninguna posibilidad de ser generada por una elección gaussiana al azar. Para tratar con esto, se necesita lo siguiente:
Teorema: Si $f$ es de anchura cero en todas las variables aleatorias gaussianas, y $f$ es distinto de cero en algún vector $v$ (y la probabilidad funciona), entonces hay un ultrafiltro no principal en los enteros.
prueba: Supongamos que $f(v)$ es distinto de cero para alguna secuencia infinita $v$ . Por la propiedad del ancho cero, $f$ es cero en las secuencias que son distintas de cero sólo en un número finito de lugares.
Definir un conjunto $S$ de números enteros sea "cero" si: para cualquier colección $g(S)$ de variables aleatorias gaussianas independientes definidas en $S$ y una variable aleatoria gaussiana $g$ , $f$ actuando sobre $g v_S + g(S)$ es ciertamente cero. $g v_S$ es $g$ veces la restricción de $v$ a cero en el complemento de $S$ , mientras que $g(S)$ es una secuencia de variables aleatorias dentro de $S$ y cero en el exterior $S$ .
Cualquier conjunto finito es nulo, mientras que el conjunto completo es no nulo ya que $f(gv+g(N))$ tiene la varianza de $g$ veces $f(v)$ (ya que $f$ es cero actuando sobre la secuencia aleatoria gaussiana $g(N)$ ).
Si $S$ es la puesta a cero, $S$ El complemento es distinto de cero por linealidad. (Nótese que lo contrario no es cierto--- $S$ puede ser distinto de cero y también $S$ complemento no nulo--- esto no es automáticamente un ultrafiltro).
Si $S$ es la puesta a cero y $S'$ es un subconjunto de $S$ entonces $S'$ es la puesta a cero (por la positividad de la adición de los anchos gaussianos).
Si $S$ es la puesta a cero y $S'$ es la puesta a cero, entonces $S$ unión $S'$ es cero, ya que la suma de variables aleatorias gaussianas independientes en $S$ y $S'$ son de nuevo variables aleatorias gaussianas independientes en $S$ unión $S'$ y cualquier variable aleatoria gaussiana independiente en la unión de $S$ y $S'$ puede descomponerse de esta manera. Por lo tanto, los conjuntos no nulos forman un filtro no principal que amplía el filtro de complemento finito.
Utilizando la elección dependiente, o bien se tiene una secuencia infinita de restricciones disjuntas de $v$ $S_1$ , $S_2$ , $S_3,\ldots$ que son distintos de cero, o la restricción sobre uno de los conjuntos hace un ultrafiltro. Una secuencia infinita de restricciones disjuntas no nulas conduce a una contradicción probabilística, como antes, considerando
$A = \sum_k C_k g(S_k)$
con la opción adecuada de crecimiento rápido de $C_k$ Como antes. El caso de terminación da un ultrafiltro.
Uniendo los dos teoremas, la función $f$ tiene que ser ciertamente cero en las secuencias gaussianas desde la posición $N$ en adelante, así que $f$ es una función lineal en el primer $N$ más un residuo. El residuo es cero en el primer $N$ posiciones, y hace una función lineal sobre los valores pasados $N$ y el residuo es cero en cualquier secuencia aleatoria gaussiana.
Si la función residual es no evanescente en algún vector $v$ entonces, o bien conduce a una contradicción probabilística o bien define un ultrafiltro no principal en $\mathbb Z$ . Así que en un universo con cada subconjunto de $\mathbb R$ medible, con elección dependiente, y sin ultrafiltro no principal en los enteros, $V$ doble dual es la imagen canónica de $V$ y las preguntas 1,2,3 están contestadas.
