Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo no nulo con unidad, y $R^n$ es el módulo libre de dimensión $n$ en $R$ . ¿Es correcto que $n+1$ elementos en $R^n$ debe ser linealmente dependiente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que hay $n+1$ elementos linealmente independientes $x_1, x_2, …, x_{n+1}$ en $M=R^{n}$ . Consideremos el submódulo $F$ generados por estos $n+1$ elementos. Entonces, claramente $F\cong R^{n+1}$ . Desde $F$ es un submódulo de $M=R^{n}$ se deduce que existe un $R$ -mapa lineal $R^{n+1}\to R^{n}$ . Pero esto es imposible.
Que no hay ningún inyectivo $R$ -mapa lineal de $R^{n+1}\to R^{n}$ se desprende de este (¿famoso?) ejercicio del libro de texto de álgebra conmutativa de Atiyah y Macdonald (Ejercicio 2.11). Véase esto Hilo de Mathoverflow . Permítanme copiar el enunciado del ejercicio y una hermosa solución (dada por Balasz Strenner) para mayor comodidad.
Propuesta. Si $A$ es un anillo conmutativo no nulo con $1$ y hay un inyectivo $A$ -mapa lineal $A^{m}\to A^{n}$ entonces $m\leq n$ .
Prueba. Supongamos por contradicción que existe un mapa inyectivo $\phi: A^m \to A^n$ con $m>n$ . La primera idea es que consideramos $A^n$ como submódulo de $A^m$ , digamos que el submódulo generado por el primer $n$ coordenadas. Entonces, por el Teorema de Cayley-Hamilton (Proposición 2.4 en Atiyah & Macdonald), $\phi$ satisface alguna ecuación polinómica \begin{equation} \phi^k + a_{k-1} \phi^{k-1} + \cdots + a_1 \phi + a_0 = 0. \end{equation} Utilizando la inyectividad de $\phi$ es fácil ver que si este polinomio tiene el mínimo grado posible, entonces $a_0 \ne 0$ . Pero entonces, aplicando este polinomio de $\phi$ a $(0,\ldots,0, 1)$ la última coordenada será $a_0$ lo cual es una contradicción ya que debería ser cero.
