Estaba estudiando a Tong notas de clase y hay un paso matemático específico que no veo cómo derivar (página 108); concretamente, no veo cómo derivar $(5.9)$ y $(5.10)$
Supongamos que se cumple la siguiente ecuación (que es una suma de soluciones de ondas planas para $(-i\gamma^i \partial_i + m)\psi$ )
$$(-i\gamma^i \partial_i + m)\psi=\sum_{s=1}^2\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec k}}}\Big[b_{\vec k}^s(-\gamma^i k_i +m) u^s (\vec k) e^{i \vec k \cdot \vec x}+c_{\vec k}^{s \dagger}(\gamma^i k_i +m)v^s (\vec k) e^{-i \vec k \cdot \vec x}\Big] \tag{*}$$
Dadas las ecuaciones de definición de los espinores (que también suponemos que se cumplen)
$$(\gamma^{\mu} k_{\mu} - m)u^s(\vec k)= \begin{pmatrix} -m & k_{\mu}\sigma^{\mu} \\ k_{\mu} \bar \sigma^{\mu} & -m \\ \end{pmatrix} u^s(\vec k)=0 \tag{4.105}$$
$$(\gamma^{\mu} k_{\mu} + m)v^s(\vec k)= \begin{pmatrix} m & k_{\mu}\sigma^{\mu} \\ k_{\mu} \bar \sigma^{\mu} & m \\ \end{pmatrix} v^s(\vec k)=0 \tag{4.111}$$
Entonces Tong afirma que el uso de $(4.105)$ y $(4.111)$ obtenemos
$$(-\gamma^i k_i +m) u^s (\vec k)=\gamma^0 k_0 u^s (\vec k), \ \ \ \ (\gamma^i k_i +m) v^s (\vec k)=-\gamma^0 k_0 v^s (\vec k) \tag{5.9}$$
Y luego usando $(5.9)$ obtenemos
$$(-i\gamma^i \partial_i + m)\psi=\sum_{s=1}^2\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \sqrt{\frac{\omega_{\vec k}}{2}} \gamma^0 \Big[b_{\vec k}^s u^s (\vec k) e^{i \vec k \cdot \vec x} - c_{\vec k}^{s \dagger} v^s (\vec k) e^{-i \vec k \cdot \vec x}\Big] \tag{5.10}$$
Pero estoy completamente perdido en cómo conseguir $(5.9)$ y $(5.10)$
¿Podría explicar cómo se obtienen?
Tal vez para $(5.10)$ podríamos partir de las soluciones de ondas planas $\psi(x)$ y $\psi^{\dagger}(x)$
$$\psi(\vec x) = \sum_{s=1}^2 \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec k}}}\Big[b_{\vec k}^s u^s (\vec k) e^{i \vec k \cdot \vec x}+c_{\vec k}^{s \dagger}v^s(\vec k) e^{-i\vec k \cdot \vec x}\Big]$$
$$\psi^{\dagger}(\vec x) = \sum_{s=1}^2 \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec k}}}\Big[b_{\vec k}^{s \dagger} u^{s \dagger} (\vec k) e^{-i \vec k \cdot \vec x}+c_{\vec k}^s v^{s \dagger}(\vec k) e^{i\vec k \cdot \vec x}\Big] \tag{5.4}$$
Pero ni idea de cómo proceder (¿integración del contorno, teorema del residuo de Cauchy...?)
P.D.: por favor, hágame saber si es necesario incluir más detalles. Gracias.
EDITAR
Obtenemos (5.9) de $\gamma^\mu k_\mu=\gamma^0k_0+\gamma^ik_i$ .
Bien, ampliemos (4.105) y (4.111)
$$(\gamma^0 k_0+\gamma^i k_i - m)u^s(\vec k)= \begin{pmatrix} -m & k_0 + k_i\sigma^i \\ k_0 - k_i\sigma^i & -m \\ \end{pmatrix} u^s(\vec k)=0 \tag{4.105}$$
$$(\gamma^0 k_0+\gamma^i k_i - m)v^s(\vec k)= \begin{pmatrix} m & k_0 + k_i\sigma^i \\ k_0 - k_i\sigma^i & m \\ \end{pmatrix} v^s(\vec k)=0 \tag{4.111}$$
Donde he utilizado:
$$\sigma^{\mu}=(1,\sigma^i), \ \ \ \ \bar\sigma^{\mu}=(1,-\sigma^i) \tag{4.63}$$
Pero, por desgracia, todavía no veo por qué esto conduce a (5.9)
Obtenemos (5.10) sustituyendo las dos mitades de (5.9) en (*) para eliminar el $\pm\gamma^ik_i+m$ operadores.
Simplemente introduciendo (5.9) en (5.10) obtengo
$$(-i\gamma^i \partial_i + m)\psi=\sum_{s=1}^2\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \sqrt{\frac{\omega_{\vec k}}{2}} \gamma^0 k_0\Big[b_{\vec k}^s u^s (\vec k) e^{i \vec k \cdot \vec x} - c_{\vec k}^{s \dagger} v^s (\vec k) e^{-i \vec k \cdot \vec x}\Big]$$
Nota que obtengo $k_0$ que no debería estar ahí. ¿Qué me falta? Gracias.
EDITAR 1
$$\gamma^0k_0v^s+\gamma^ik_iv^s=\gamma^\mu k_\mu v^s=-mv^s\implies(\gamma^ik_i+m)v^s=-\gamma^0k_0v^s.$$
