¿Existe una geometría algebraica cuaterniónica?

Question

Dejemos que $\mathbb{H}$ sea el campo de los cuaterniones. Estoy al tanto de la

Teorema 1. Una función $f:\mathbb{H}\to\mathbb{H}$ que es $\mathbb{H}$ -diferenciable por la izquierda (es decir, el límite habitual $h^{-1}\cdot (f(x+h)-f(x))$ , para $h\to 0$ existe para cada $x\in \mathbb{H}$ ) es una función afín cuaterniónica a la derecha (es decir, de la forma $x\mapsto x\cdot \alpha + v$ ).

Esto significa que no hay funciones cuaterniónicas lisas interesantes, por lo que no hay "variedades cuaterniónicas lisas" interesantes (que no es lo mismo que las estructuras cuaterniónicas-Kahler o hiperkahler que se encuentran en la geometría diferencial y la geometría analítica compleja).

Creo que también puedo recordar el

Teorema 2. Si una función $f:\mathbb{H}\to\mathbb{H}$ es localmente $\mathbb{H}$ -(es decir, puede desarrollarse localmente en series de potencias, para la noción adecuada de "serie de potencias"), que corresponde a una función real-analítica $f:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ y cualquier función real-analítica $f:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ se puede obtener de esta manera.

Eso dice que $\mathbb{H}$ Las funciones cuaterniónicas-analíticas son esencialmente las mismas que las cuadrillas de funciones reales-analíticas de 4 variables. Por lo tanto, no existe una "geometría cuaterniónica-analítica" que se distinga de $4n$ -geometría real-analítica dimensional. Creo que lo mismo ocurre con los polinomios cuaterniónicos (no conmutativos): son sólo 4 pares de polinomios reales en 4 variables.

Pero, ¿es razonable que el lugar cero en $\mathbb{H}^n$ de un "polinomio no conmutativo" con $\mathbb{H}$ -coeficientes no tiene más estructura matemática que su estructura de variedad real-algebraica? Estaría bien poder ver cosas como $\mathbb{HP}^1$ como una "cuaterniónica curva ", y hablar de un punto " $\mathrm{Spec}(\mathbb{H})$ " (lo que sea que signifique) si es posible...

¿Existe una teoría de la "geometría algebraica cuaterniónica", quizá como una rama o caso particular de alguna teoría de la geometría (algebraica) no conmutativa?

Por supuesto, si tal teoría tiene algún sentido, no puede ser el "análogo obvio" de la geometría compleja algebraica o analítica, como muestran los teoremas 1. y 2. anteriores.

Answer 1

La respuesta es sí (al menos si la geometría holomórfica cuaterniónica cuenta). La "geometría holomórfica cuaterniónica" proporciona una descripción muy elegante de las superficies en el espacio de 3 y 4 dimensiones.

El primer documento en este campo es más o menos

Franz Pedit y Ulrich Pinkall, Quaternionic Analysis on Riemann Surfaces and Differential Geometry, en: Proocedings of the international con- gress of mathematicians, Berlin 1998, II Documenta Mathematica, Journal der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Extra Volume ICM 1998, 389-400. Haz clic en mí

Una buena introducción a la "geometría holomórfica cuaterniónica" viene dada por

Francis E. Burstall, Dirk Ferus, Katrin Leschke, Franz Pedit y Ulrich Pinkall, Conformal geometry of surfaces in S4 and quaternions, Lecture Notes in Mathematics 1772, Springer-Verlag, Berlín, 2002. http://arxiv.org/abs/math/0002075

y

Dirk Ferus, Katrin Leschke, Franz Pedit y Ulrich Pinkall, Quaternionic Holomorphic Geometry: Plucker Formula, Dirac Eigenvalue Esitmates and Energy Estimates of Harmonic 2-Tori, Inventiones Mathematicae 146 (2001),no. 3, 507-593 arxiv.org/abs/math/0012238v1

Pero sólo para aclarar las cosas: "Por supuesto, si tal teoría tiene algún sentido, no puede ser el "análogo obvio" de la geometría compleja algebraica o analítica, como muestran los teoremas 1. y 2. anteriores."

Esto no es realmente cierto, porque la geometría holomórfica cuaterniónica desarrollada en los artículos anteriores, es una especie de generalización de la geometría compleja, es decir, si se mira cómo se define una "estructura holomórfica cuaterniónica", se ve que es una especie de $\overline{\partial}$ -Operador con algunos datos adicionales (un llamado campo de Hopf).

Si necesitas más referencias, hay muchas disponibles (sólo tienes que escribir "quaternionic holomorphic geometry" en google)

Answer 2

En realidad no tengo ni idea de cómo se relaciona esto con la "geometría cuaterniónica" mencionada anteriormente, pero también hay geometría hiperkähler . Una variedad hiperkähler es una variedad real tal que cada espacio tangente tiene una acción de los cuaterniones, y existe una única métrica que hace que la variedad sea Kähler en la estructura compleja inducida por $I,J$ o $K$ . Esto suena un poco a geometría diferencial al principio, pero se puede obtener un objeto puramente algebraico girando $J$ y $K$ en sus respectivas formas simplécticas $\omega_J$ y $\omega_K$ . La suma $\omega_J+i\omega_K$ es una forma simpléctica holomorfa para la estructura compleja $I$ y muchos ejemplos de estos provienen de fuentes puramente algebro-geométricas. Véase, por ejemplo, el encuesta de Kaledin .

Answer 3

Quizás también le interese el reciente documento

Gentili, Graziano; Stoppato, Caterina Ceros de funciones regulares y polinomios de una variable cuaternaria. Michigan Math. J. 56 (2008), no. 3, 655-667

(y otros trabajos de los mismos autores).

Answer 4

Echa un vistazo al documento de Dominic Joyce "Una teoría del álgebra cuaterniónica, con aplicaciones a la geometría hipercompleja" .

Answer 5

En una dirección más analítica existe también una reciente teoría de "análisis cuaterniónico dividido" desarrollada por Igor Frenkel y Matvei Libine, a partir de aquí con una encuesta aquí con aplicaciones a la teoría de la representación y a la física.