Una pregunta sobre las funciones continuas. Cómo demostrar que: $\inf_{\forall f(x) \in C[a,b]}\{ \sup_{f(x)} K \}= \frac{b-a}{2}$

Question

$C[a,b]$ es el conjunto de todas las funciones continuas sobre $[a,b]$ .

$f(x)$ es una función continua sobre $[a,b]\,$ ( $a,b \in \mathbb{R}$ ) , tal que $f(a)=f(b)$ , $\forall \varepsilon \in (0,K),\, \exists x_{0}$ , s.t. $f(x_{0})=f(x_{0}+\varepsilon)$ .

Para todos $K$ satisface las condiciones anteriores, $\inf_{\forall f(x) \in C[a,b]}\{ \sup_{f(x)} K \}$ es igual $\frac{b-a}{2}$ ?

Cómo probarlo: $\inf_{\forall f(x) \in C[a,b]}\{ \sup_{f(x)} K \}= \frac{b-a}{2}$

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Por ejemplo, $x$ en [0,1]:

si $f(x)=\sin(\pi*x)$ Obviamente, $\sup_{f(x)} K=1$ ;

$f(x)=\sin(\pi*x)$

si $f(x)=\sin(2\pi*x)$ Obviamente, $\sup_{f(x)} K=1/2$ ;

$f(x)=\sin(2\pi*x)$

Entonces, ¿cómo probar $\inf_{\forall f(x) \in C[a,b]}\{ \sup_{f(x)} K \} =\frac{b-a}{2}$ ?

Answer 1

EDIT: Esta respuesta no funciona.
Llamemos a $B \subset C[a,b]$ el subconjunto de las funciones continuas tal que existe tal $K > 0$ porque hay funciones $f \in C[a,b]$ para el que el único $K\in \mathbb R$ que encaja es $K=0$ por ejemplo $f(x) = x$ en $[0,1]$ . Entonces el infimo tiene que pasar por encima de $B$ .
Dicho esto, no creo que eso $\inf_{f \in B} \big( \sup_{K_f>0} K_f \big) = \frac{b-a} 2$ es cierto. Sea $\delta >0$ y considerar la función $$f (x) := \begin{cases} 0 & \text{for } x \in [0, \delta ) \\ \frac {x - \delta }{1-\delta } & \text{for } x \in [\delta ,1] \end{cases}$$ (Esta función es constante desde $0$ a $\delta $ y luego aumenta linealmente desde $\delta $ a $1$ ).
Tenemos $f \in B$ porque es continua y para cualquier $K< \delta$ se ajusta a la condición de su pregunta (Pero no $K>\delta$ encaja!). Porque $\delta > 0$ es arbitraria obtenemos que $$\inf_{f \in B} \left( \sup_{K_f>0} K_f \right) = 0$$