Raíces cuadradas de elementos en un grupo finito y teoría de la representación

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito. En un una pregunta anterior , Fedor preguntó si la función de recuento de la raíz cuadrada $r_2:G\rightarrow \mathbb{N}$ que asigna a $g\in G$ el número de elementos de $G$ ese cuadrado a $g$ alcanza su máximo en el elemento de identidad, cuando $G=S_n$ . He dado una respuesta afirmativa utilizando la teoría de la representación, que es válida cuando $S_n$ se sustituye por cualquier grupo que no tenga representaciones simplécticas. En otras palabras, el argumento que di funciona siempre que cualquier representación compleja irreducible de $G$ es realizable sobre $\mathbb{R}$ o tiene carácter de valor no real. De nuevo en otras palabras (y más cerca del argumento real) necesito que los indicadores de Frobenius-Schur de todas las representaciones complejas irreducibles sean no negativos.

Esta es la primera de las dos preguntas de seguimiento ( el segundo que se trata de $n$ -raíces), que Pete Clark me animó a preguntar aquí. Hice un rápido experimento informático. Hay 1911 grupos entre los grupos de tamaño hasta 150 que tienen una representación simpléctica. En 1675 de ellos, la función de recuento de raíces cuadradas no alcanza su máximo en el elemento identidad. ¿Existe un buen criterio (¿teórico de la representación?) que distinga a los grupos restantes de 300 Impares? Un criterio que incluya el anterior como un caso especial sería, por supuesto, particularmente interesante. en otras palabras, estoy preguntando:

qué le dice al grupo (sobre su teoría de la representación) si la función de recuento de la raíz cuadrada alcanza su máximo en la identidad?

Cualquier idea o heurística que se pueda aportar es bienvenida. También son interesantes los criterios que capten algunos de los grupos restantes, aunque no todos. Gracias por adelantado.

Answer 1

Como se ha señalado en los comentarios y en esta pregunta esta respuesta no es del todo correcta porque real/cuaterniónica no siempre da una $\mathbb{Z}/2$ de la clasificación. No obstante, en la práctica esta respuesta parece ser "mayormente correcta". Voy a dejarla sin modificar porque cambiarla confundiría demasiado los comentarios y otras respuestas. ¡Perdón por el error!

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Si $G$ tiene una representación cuaterniónica y $G$ no tiene representaciones complejas (es decir, representantes cuyo carácter es complejo) entonces para ciertos elementos centrales no triviales la función raíz cuadrada es $\sum_\chi \chi(1)$ que es claramente el máximo valor posible y claramente mayor que el valor de la identidad.

La idea clave de la prueba es el hecho de que $Z(G)^*$ (el grupo de caracteres del centro de $G$ ) es el grupo de clasificación universal para la categoría de $G$ representaciones.

Permítanme desgranar un poco eso. A cada irrep de $G$ puede asignar su "carácter central", que es un elemento de $Z(G)^*$ . Esta asignación es multiplicativa en el sentido de que si $U$ es un subrepticio de $V \otimes W$ entonces el personaje central de $U$ es el producto de los caracteres centrales de $V$ y $W$ (esto es así porque los elementos centrales actúan por escalares). En otras palabras, $\operatorname{Rep}(G)$ se clasifica por $Z(G)^*$ . La pretensión es que un $H$ -Calificación de $\operatorname{Rep}(G)$ es lo mismo que un mapa $Z(G)^* \to H$ .

¿Por qué es esto cierto? Sólo voy a esbozar la prueba, en particular voy a hablar del caso en el que $Z(G)$ es trivial, pero indicaré cómo funciona el caso general. Como el centro es trivial se puede encontrar una representación fiel $V$ . Pero entonces veamos una potencia tensorial muy alta de $V$ y preguntar cómo se rompe. Podemos calcularlo utilizando la teoría de los caracteres. Dado que el rep es fiel y no hay centro, el carácter de una potencia tensorial alta de $V$ está dominado por el valor en $1$ . Por lo tanto, cualquier alto poder tensorial de $V$ contiene todos los demás irreps. En particular, el $n$ -a y $(n+1)$ -a potencias contienen los mismos irreps y esto te dice que el grupo de clasificación es trivial. En general se quiere argumentar que la contribución del centro domina los valores de los productos internos (pero hay que tener un poco de cuidado con las representaciones no fieles).

El "grupo de clasificación universal" es utilizado por Gelaki y Nikshych para definir la serie central superior de una categoría de fusión arbitraria y así definir categorías de fusión nilpotentes.

De acuerdo, ¿en qué sentido es esto relevante? Bueno, si tienes un grupo con una representación cuaterniónica pero sin representaciones complejas, entonces el indicador de Frobenius-Schur da un $\pm 1$ clasificación de $Rep(G)$ , es decir, poner a los verdaderos representantes en el grado $1$ y las cuaterniónicas en grado $-1$ . Por lo tanto, el indicador de Frobenius-Schur $s(\chi)$ debe ser dada por el personaje central $\chi(z)/\chi(1)$ para algún elemento central $z$ . Es evidente que estos elementos centrales maximizan la función raíz cuadrada.