¿Cómo puedo determinar si una forma cuadrática es "casi universal"?

Question

El $15$ - teorema y el $290$ - El teorema de la forma cuadrática definida positiva da condiciones suficientes para que sea universal (todo número natural es un valor posible de la forma cuadrática)

¿Pero cómo puedo verificar si una forma definida positiva que NO es universal, es "casi universal" (todo número natural suficientemente grande es un valor posible)?

En particular, descubrí que $3$ términos cuadráticos, como $a^2+2b^2+3c^2$ no son suficientes para crear una forma cuadrática universal.

¿Podemos también demostrar que tal forma cuadrática ( $ra^2+sb^2+tc^2$ con números enteros $0\le r\le s\le t$ ) no puede ser "casi universal"?

Answer 1

Hay un procedimiento general que se puede hacer para una forma cuadrática particular descrita aquí, y especialmente la sección 6 .

No soy un experto en la materia, pero he aquí un esbozo del procedimiento:

para una forma cuadrática definida positiva $Q$ y algunos $m \in \mathbb N$ escribir

$$r_Q(m):=\#\{\vec{x} \in \mathbb N | Q(\vec{x})=m \}.$$

A partir de ellos, existe una especie de enfoque de función generadora, en el que tomamos

$$\sum_{m \geq 1} r_Q(m)e^{2 \pi i nz}$$

que es un forma modular .

Utilizando la teoría general, uno quiere acotar esto lejos de cero, y mostrar que el coeficiente es positivo para un tamaño suficientemente grande $m$ . En efecto, esto puede hacerse con límites difíciles, pero también con sistemas de álgebra computacional. Nótese que si uno logra esto, entonces se obtiene una lista finita de enteros que pueden no estar representados, pero el resto sí lo estará.

---

si quieres encontrar todas las formas cuadráticas posibles que faltan $S \subset \mathbb N$ (y para demostrar que efectivamente las tiene todas) existe un proceso conocido como escalada, que también se puede encontrar en el documento 290.

Creo que hay un teorema folclórico, El teorema maestro de Manjul que demuestra que siempre se puede jugar a este juego por cualquier $S \subset \mathbb N$ aunque, por supuesto, el mayor $S$ es, más difíciles se vuelven estos cálculos.