Opuesto a exactamente uno

Question

Expresar en forma lógica: Hay exactamente una persona que le gusta a Juan.

Haciendo esto podemos escribirlo utilizando el cuantificador "Hay exactamente uno" $\exists!$ . Dejar $L(x,y)$ : $x$ le gusta $y$ . Esto se puede escribir como $\exists!xL(J,x)$ . Después de ver esto me preguntaba cómo podemos negarlo. Si no utilizáramos los cuantificadores "Hay exactamente uno" se convertiría en $\exists x\forall y(L(J,x)\land\lnot (L(J,y)\land y\neq x))$ Entonces, si lo negara todo obtendríamos $\forall x\exists y(\lnot L(J,x)\lor (L(J,y)\land y\neq x))$ Lo que para mí se lee como, a Juan no le gusta todo el mundo o a Juan le gusta al menos una persona, y esa persona no es $x$ . La negación que tengo parece perder el hecho de que a Juan le guste más de una persona, independientemente de que esa persona sea $x$ o no. Entonces, ¿cómo puedo negar esta afirmación? ¿Existe un cuantificador opuesto a $\exists!$ ?

Answer 1

La negación es correcta, aunque la forma en que lo has escrito ofusca el significado. Creo que las afirmaciones son equivalentes, pero la forma en que lo has escrito es menos clara. Para $\exists!xL(J,x)$ Lo escribiría como $\exists x(L(J,x)\land \forall y(L(J,y)\implies x=y))$ . Esto da una negación de $\forall x(\neg L(J,x)\lor \exists y(L(J,y)\land x\neq y))$ .

Se puede leer esto como: "Para cada persona, o bien no le gusta a Juan, o bien le gusta a Juan y a otra persona. Por lo tanto, si se da el segundo caso (a Juan le gusta esa persona y otra), entonces no hay ninguna persona única que le guste a Juan. Si el segundo caso no se cumple nunca, entonces es siempre el primer caso (a Juan no le gusta esa persona), por lo que a Juan no le gusta nadie, y por tanto no existe ninguna persona que le guste a Juan, y mucho menos una persona única.

EDIT: el comentario de fleablood explica tu pregunta sobre tu propia frase. Si a Juan no le gustan las personas, entonces seguro que no le gusta una persona única. Si hay alguien que le gusta, digamos que esa persona es $z$ entonces $z$ debe satisfacer $\exists y(\neg L(J,z)\lor (L(J,y)\land y\neq z))$ . Como a John le gusta $z$ La primera parte del enunciado "o" no puede ser satisfecha, por lo que la segunda debe serlo, lo que significa que a Juan le gusta otra persona que no es $z$ . Cualquiera de las dos formas de escribir la afirmación y su negación es correcta.