Motivación del teorema de Rham

Question

En la escuela de posgrado aprendí el isomorfismo entre la cohomología de Rham y la cohomología singular en un curso que utilizaba el libro de Warner Fundamentos de las Múltiples Diferenciables y los Grupos de Lie . Una cosa que recuerdo que me desconcertó, y que me pareció que nunca se contestó durante el curso a pesar de que se lo pregunté al profesor, fue para qué se podía utilizar el teorema. Más concretamente, lo que yo esperaba era una aplicación del teorema de Rham para demostrar un resultado que fuera "elemental" (es decir, que pudiera ser entendido, y visto como interesante, por alguien que no hubiera estudiado ya el material en ese curso).

¿Existe un buen problema motivador de este tipo para el teorema de Rham?

Para que te hagas una idea de lo que estoy pidiendo exactamente, aquí tienes lo que considero un buen problema de motivación para la integral de Lebesgue. Es el ejercicio 10 del capítulo 2 de la obra de Rudin Análisis real y complejo . Si $\lbrace f_n\rbrace$ es una secuencia de funciones continuas sobre $[0,1]$ tal que $0\le f_n \le 1$ y tal que $f_n(x)\to 0$ como $n\to\infty$ por cada $x\in[0,1]$ entonces $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\thinspace dx = 0.$$ Este problema tiene mucho sentido para alguien que sólo conoce la integral de Riemann, pero es bastante complicado de demostrar si no se puede utilizar ninguna teoría de la medida.

Si resulta que hay muchas respuestas, entonces podría hacer esta wiki comunitaria, pero por ahora lo dejaré pasar.

Answer 1

Una aplicación interesante del teorema de De Rham es demostrar que ciertas variedades diferenciales son no difeomorfo. Aquí hay dos ejemplos.

1) Para $n$ incluso la esfera $S^n$ y el espacio proyectivo real $\mathbb P^n(\mathbb R)$ no son difeomorfos ya que $H^n(S^n) \simeq \mathbb R$ mientras que $H^n(\mathbb P^n(\mathbb R))=0$ . Ah, dirás, pero ya veo que con los conceptos de orientación o grupo fundamental $\pi_1$ : ¡No necesito las cosas de tu Suiza! Es justo: son alternativas elementales razonables.

2) Arreglar $N\geq 2$ y eliminar $k$ puntos de $\mathbb R ^N$ : llamada $X_k$ el colector resultante. Entonces, para $k\neq l$ los colectores $X_k$ y $X_l$ no son difeomorfos ya que $dim_{\mathbb R} H^{N-1}(X_k )=k\neq l=dim_{\mathbb R} H^{N-1}(X_l )$ . Sin embargo, ambos son orientables, y simplemente conectados para $N\geq 3$ . Así que las herramientas elementales del ejemplo 1) no se aplican.

Answer 2

Se puede utilizar el teorema de De Rham para definir la integral de Lebesgue sin utilizar nunca ninguna noción de teoría de la medida. Más precisamente, la integral puede definirse como la composición de la siguiente secuencia de mapas: C ∞ _cs (Dens(M))→H n _cs,dR (M,Or(M))→H n _cs (M,Or(M))→H ₀ (M)→H ₀ (∙)=R.

Aquí C ∞ _cs (Dens(M)) denota el espacio de todas las densidades suaves con soporte compacto. El espacio C ∞ _cs (Dens(M)) se mapea a H n _cs,dR (M,Or(M)) (la enésima cohomología de Rham de M con soporte compacto retorcido por la gavilla de orientación de M) por el mapa obvio dado por la definición de cohomología de Rham. El espacio H n _cs,dR (M,Or(M)) es isomorfo a H n _cs (M,Or(M)) (la enésima cohomología ordinaria retorcida de M con soporte compacto) por el teorema de Rham. El espacio H n _cs (M,Or(M)) es isomorfo a H ₀ (M) por dualidad de Poincaré. Por último, H ₀ (M) se puede mapear a H ₀ (∙)=R por el habitual mapa pushforward para la homología.

Puede encontrar más detalles en esta respuesta: Integrales desde un punto de vista no analítico

He aquí una aplicación fácil de la definición anterior: La versión más sencilla del teorema de Stokes establece que ∫dω=0, donde ω∈Ω n-1 (M,Or(M)). Prueba: ∫ factores a través del mapa a la cohomología de Rham. La forma dω es un cofinanciamiento, por lo que su imagen desaparece en la cohomología de Rham y la integral es igual a cero.

Answer 3

Esto no es una motivación del teorema de De Rham en sí, pero sí motiva las técnicas de su demostración.

En el cálculo de una sola variable se aprende el teorema del cambio de variables:

$$\int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx.$$

Un aspecto agradable de este teorema es que la función $g$ sólo se requiere que sea diferenciable. Pero si se piensa en la mayoría de los libros de texto de cálculo multivariable, el teorema de cambio de variables requiere $g$ para ser un difeomorfismo. La variable única prueba implica sólo el teorema fundamental del cálculo y ninguna de las quisquillosas estimaciones analíticas sobre los volúmenes de las imágenes paralelepípedas que se ven en la demostración del cálculo multivariable.

Pero se puede dar un teorema de cambio de variables en el entorno del cálculo multivariable que no requiere $g$ para ser un difeomorfismo, y su prueba utiliza el lema de Poincare.

$$\int_R \omega = \int_R d\beta = \int_{\partial R} \beta$$

aquí utilizamos que la región $R$ tiene límite por lo que $\omega$ es la derivada exterior de un $n-1$ -forma. A continuación, se utiliza el cambio de variables en el límite. Contexto: let $R, W \subset \mathbb R^n$ ser compacto $n$ -submanifoldos dimensionales, y dejemos que $f : W \to \mathbb R^n$ sea un mapa suave entonces se puede demostrar

$$\int_R \omega = \int_W f^* \omega$$

proporcionado $f$ restringe hasta cierto punto un mapa $f_{|\partial W} : \partial W \to \partial R$ .

que es una generalización limpia del cambio de variables en dimensión uno.

Answer 4

Al principio siempre pensé en el teorema deRham en términos de análisis vectorial y dinámica de fluidos. Por ejemplo, si uno tiene un campo vectorial sin rizos, entonces uno podría querer escribirlo como un campo de gradiente de una función. Pero si su dominio tiene agujeros (de cierto tipo) esto no será necesariamente cierto. La afirmación análoga es válida para los campos vectoriales sin divergencia que se quieran escribir como el rizo de otro campo vectorial.

Answer 5

No sé si esto cuenta como "elemental", pero creo que toda la historia que conecta la topología y la teoría de Morse de una superficie orientada cerrada con su cohomología deRham es bastante bonita. Recomiendo el libro "Differential Topology" de Guillemin y Pollack. O "Topología desde un punto de vista diferencial" de Milnor.