Motivación del teorema de Rham

Question

En la escuela de posgrado aprendí el isomorfismo entre la cohomología de Rham y la cohomología singular en un curso que utilizaba el libro de Warner Fundamentos de las Múltiples Diferenciables y los Grupos de Lie . Una cosa que recuerdo que me desconcertó, y que me pareció que nunca se contestó durante el curso a pesar de que se lo pregunté al profesor, fue para qué se podía utilizar el teorema. Más concretamente, lo que yo esperaba era una aplicación del teorema de Rham para demostrar un resultado que fuera "elemental" (es decir, que pudiera ser entendido, y visto como interesante, por alguien que no hubiera estudiado ya el material en ese curso).

¿Existe un buen problema motivador de este tipo para el teorema de Rham?

Para que te hagas una idea de lo que estoy pidiendo exactamente, aquí tienes lo que considero un buen problema de motivación para la integral de Lebesgue. Es el ejercicio 10 del capítulo 2 de la obra de Rudin Análisis real y complejo . Si $\lbrace f_n\rbrace$ es una secuencia de funciones continuas sobre $[0,1]$ tal que $0\le f_n \le 1$ y tal que $f_n(x)\to 0$ como $n\to\infty$ por cada $x\in[0,1]$ entonces $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\thinspace dx = 0.$$ Este problema tiene mucho sentido para alguien que sólo conoce la integral de Riemann, pero es bastante complicado de demostrar si no se puede utilizar ninguna teoría de la medida.

Si resulta que hay muchas respuestas, entonces podría hacer esta wiki comunitaria, pero por ahora lo dejaré pasar.

Answer 1

He aquí una aplicación realmente "trivial". Dado que una forma de volumen (digamos de una métrica riemanniana) para una variedad compacta $M$ es claramente cerrada (tiene grado superior) y no exacta (por el Teorema de Stoke), se deduce que la cohomología es no trivial, por lo que $M$ no puede ser contraíble.

Answer 2

Hay un buen número de afirmaciones sorprendentes y profundas que se pueden demostrar utilizando de Rham. Los ejemplos que enumero no son elementales en ningún sentido, pero dan una idea de la potencia de la teoría. Todos tienen en común que emplean características de la teoría de Rham que no están a mano en la teoría singular.

A menudo se presenta la teoría de Rham como la forma más rápida de desarrollar la teoría de la cohomología, pero, en mi opinión, esto no tiene sentido. En primer lugar, es discutible si el desarrollo de la teoría es realmente más sencillo que la teoría singular, especialmente si se considera que se obtiene una teoría considerablemente más débil siempre que se restrinja el conjunto de herramientas a los axiomas de Eilenberg-Steenrod. En segundo lugar, el verdadero poder de la teoría de Rham se hace evidente cuando se estudian situaciones específicas en las que se pueden aplicar métodos diferentes a los de la teoría de la homología estándar. ¿Cuáles son estas situaciones específicas? Bueno, tengo tres ejemplos en mente, pero ciertamente hay muchos más:

1.) Conexiones y curvatura, es decir, teoría de Chern-Weil. Esto puede ser motivado por la fórmula de Gauss-Bonnet, o, mejor, el teorema de Gauss-Bonnet-Chern, que iguala el número de Euler de una colector con una integral de alguna forma diferencial construida a partir de la curvatura. Ya la afirmación de que esta integral es un número entero es bastante intrigante si no se conoce el teorema de de Rham.

2.) Simetría. Si un grupo compacto actúa sobre la variedad, se puede restringir a formas invariantes. Si la acción es homogénea, te quedas con un complejo de dimensión finita. Así que la simetría puede reducirse para disminuir el tamaño del complejo de Rham, lo que lleva, por ejemplo, al isomorfismo $H^{\ast}(G) \cong (\Lambda \mathfrak{g}^{\ast})^G$ para el compacto $G$ que me sorprendió mucho cuando lo vi por primera vez. Por lo que sé, esta es la forma más sencilla de la cohomología real de los grupos de Lie.

3.) La métrica de Kähler. La descomposición de Hodge es, por supuesto, aún menos elemental que los ejemplos anteriores, pero la afirmación de que la dimensión del espacio de las formas holomorfas 1 en una superficie de Riemann cerrada $S$ es precisamente el género (definido como el número de asas) es bastante misterioso en primer lugar.

Answer 3

No sé si es necesario añadir otra respuesta más, pero este tema se acerca a mi corazón. No soy historiador, y me alegraría que alguien me corrigiera aquí, pero tengo la impresión de que la idea de entender un diferencial en términos de sus períodos que se remonta al menos a Riemann, habría sido un antecedente histórico del teorema de de Rham. En otras palabras, no creo que el teorema haya surgido del vacío.

Para explicar lo que quiero decir con períodos, supongamos que $X$ es una superficie de Riemann compacta de género $g$ . Entonces $H_1(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^{2g}$ con una base de bucles $\gamma_i$ construido de la forma habitual. El teorema de De Rham da un isomorfismo del primer espacio de Rham $H^1(X,\mathbb{C})\cong \mathbb{C}^{2g}$ identificando un $1$ -forma $\alpha$ con su vector de periodo $(\int_{\gamma_i}\alpha)$ . Por supuesto, la gente del siglo XIX habría estado más interesada en el caso de que $\alpha$ es holomorfo. En este caso, el espacio de formas holomorfas se inyecta en $H^1(X,\mathbb{C})$ (Prueba: $\alpha=df$ implica que $f$ es holomorfa y, por tanto, constante). Por eso se podía hablar de esto sin definir explícitamente la cohomología primero.

Answer 4

Las formas diferenciales y la cohomología son algo menos intuitivas que la integración (al menos para mí), así que quizá no sea fácil encontrar un ejemplo tan claro.

De todos modos, vamos a intentar esto. Consideremos la forma 1

$\omega:=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$

sur $X:=\mathbb{R}^2 \setminus 0$ .

Proporciona el ejemplo estándar de forma cerrada que no es exacta, y de hecho es esencialmente el único ejemplo en $X$ por lo siguiente

Propuesta.

Toda forma 1 en $X$ que es cerrado pero no exacto es del tipo $a\omega + \eta$ , donde $a \in \mathbb{R}$ y $\eta$ es una forma 1 exacta.

Esta afirmación tiene mucho sentido para todos los que entienden las formas diferenciales, y a primera vista no parece nada evidente.

Por otro lado, es una consecuencia inmediata del teorema de De Rham: de hecho, como $X$ se retrae en $S^1$ tenemos

$H^1_{DR}(X)=H^1_{sing}(X, \mathbb{R})=H^1_{sing}(S^1, \mathbb{R})= \mathbb{R}$ ,

con generador $[\omega]$ .

Answer 5

$\frac{1}{4\pi} \oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2} \frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} \cdot (d\mathbf{r}_1 \times d\mathbf{r}_2)$

es un número entero cuando $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \to \mathbb{R}^3$ son curvas diferenciables no intersecantes.

¿En serio?

Este número le indica cuántas veces $\gamma_1$ vientos alrededor $\gamma_2$ (El número de enlace). Mi mujer se licenció en matemáticas y bioquímica interesada en aplicar la teoría de los nudos a la genómica, y ella y yo pasamos innumerables horas tratando de dar sentido a esto sin ningún conocimiento de cohomología. Supongo que eso le da carácter.