El cuestionamiento del carácter discreto de $\mathbb{Q}$

Question

Antecedentes de la pregunta:

Hace poco escuché a alguien decir: "La medida del conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ est $0$ . ".

Y pensé, bueno eso tiene sentido porque $\mathbb{Q}$ se compone de puntos. Así que su medida debe ser naturalmente la suma de $0$ longitudes.

Pero entonces me pregunté: ¿Por qué asumiste $\mathbb{Q}$ se compone de puntos discretos?

Pensé que debía haber un número irracional al lado de cada racional. Pero entonces, ¿por qué es así? ¿Por qué es "imposible" tener dos números racionales uno al lado del otro en la recta numérica?

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Así que mi Pregunta :

Conjetura : Debe haber al menos un conjunto $A=\{a,b \}$ tal que $a,b \in \mathbb{Q}$ y no hay ningún número entre $a$ y $b$ . También $a \neq b$ .

¿Cómo demostramos o refutamos esto (de forma matemática, no por pura intuición)?

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Mi intento y mis pensamientos:

No pude conseguir ningún punto de partida válido para esto. Todo lo que pude hacer fue escribir la conjetura en un formato diferente.

Ej. $$\lim_{h \to 0^{+}} a+h =b$$

Pero tengo la corazonada de que esto se refutaría utilizando la prueba por contradicción.

Answer 1

Todos los $\Bbb R$ se compone de puntos, pero son incontables. En $\Bbb Q$ sólo hay contablemente muchos, que es lo que usamos para mostrar que la medida es $0$ . Sabemos que la medida de Lebesgue es contablemente aditiva, por lo que si podemos cubrir $\Bbb Q$ por un conjunto de intervalos la medida de $\Bbb Q$ debe ser menor.

Poner los racionales en orden como $q_1, q_2, q_3, \ldots$ . Entonces podemos hacer un intervalo alrededor de $q_1$ de longitud $\frac h{2^1}$ un intervalo alrededor de $q_2$ de longitud $\frac h{2^2}\ldots,$ un intervalo alrededor de $q_i$ de longitud $\frac h{2^i}$ y así sucesivamente. El total de todos estos intervalos no es más que $h$ . Podemos hacer el total tan pequeño como queramos reduciendo $h$ por lo que la medida de los racionales debe ser $0$ .

Tanto los reales como los racionales son densos. Entre cualquier par de ellos se encuentra otro. No existe el concepto de que los reales o los racionales estén uno al lado del otro.