representación infinita de un $C^*$ álgebra

Question

Supongamos que $\pi$ es una representación de dimensión finita de $C^*$ álgebra $A$ en un espacio de Hilbert $H$ entonces $\pi$ es la suma directa de subrepresentaciones irreducibles de dimensión finita.

Mi pregunta es: Si $\pi$ es una representación de dimensión infinita de $C^*$ álgebra $A$ en un espacio de Hilbert $H$ con dim( $H$ )= $\infty$ ¿Existe una representación dimensional finita de A en $H_0$ donde $H_0$ es un subespacio de $H$ ¿Podemos descomponer la representación dimensional infinita?

Answer 1

No necesariamente. Tome $A=B(H)$ y $\pi$ la representación de la identidad.

De manera más general, tome $A$ cualquier C $^*$ -álgebra con $\pi$ una representación irreducible de dimensión infinita (ejemplos fáciles de tales $A$ son $K(H)$ y UHF $(2^\infty)$ ). Este $\pi$ no puede tener sumandos, ya que $\pi(A)'=\mathbb C$ .