Condicionales con disyunciones

Question

¿Cómo puedo demostrar una condición en esta forma?

$ A \rightarrow (B \vee C)$

mediante manipulaciones "algebraicas" llego a la equivalencia

$ A \rightarrow (B \vee C)$ $\Leftrightarrow$ $( A \wedge ¬B \rightarrow C)\wedge (A \wedge ¬C \rightarrow B)$

Por lo tanto, para demostrar $ A \rightarrow (B \vee C)$ hay que demostrar $ A \wedge ¬B \rightarrow C$ y $A \wedge ¬C \rightarrow B$ como probar las bicondicionales? o hay una forma más fácil de hacerlo?

Ejemplo:

Propuesta: Supongamos que $ a, b \in N$ . Si $gcd(a, b) > 1$ entonces $b|a$ O $b$ no es primo.

Prueba:

Supongamos que $gcd(a, b) > 1$ y b $\not|$ $a$

...

Por lo tanto, $b$ no es primo.

Ahora, supongamos que $gcd(a, b) > 1$ y $b$ es primo.

...

por lo tanto, $ b|a$

Q.E.D.

gracias de antemano y perdón por el mal inglés.

Answer 1

$B \lor C$ es equivalente - por Implicación material - a : $\lnot B \to C$ .

Así, $A → (B ∨ C)$ es equivalente a : $A \to (\lnot B \to C)$ que, a su vez, por Exportación - equivale a :

$(A \land \lnot B) \to C$ .

En conclusión, su primera prueba es suficiente, debido a que equivale a:

suponga que $\text {gcd}(a,b) > 1$ : si $\lnot (b|a)$ entonces $b$ no es primo.

Answer 2

Como nota al margen: Una buena manera de pensar en lo que está pasando en lugar de recurrir a la utilización de manipulaciones de la sintaxis es la siguiente: Quieres mostrar $A$ implica $B\vee{C}$ . Supongamos ahora que $A$ es verdadera. Entonces quieres demostrar que $B\vee{C}$ es cierto. Si $B$ es verdadero, entonces $B\vee{C}$ es cierto, así que ya está hecho. Así que suponga que no: entonces sólo tiene que demostrar que $C$ se mantiene.

Para su ejemplo: Supongamos que $gcd(a,b)>1$ . Si $b|a$ entonces has terminado. Así que supongamos que este no es el caso.....

La sintaxis y las reglas formalizan esta comprensión intuitiva; pero a veces es mejor dar un paso atrás y trabajar con la comprensión intuitiva que tratar directamente con la sintaxis.