A = B (pero no del todo); matrices tridimensionales con múltiples recurrencias

Question

Hace muchos años, descubrí la notable matriz (aparentemente descubierta originalmente por Ramanujan)

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 1    3
 2   10   15
 6   40  105  105
24  196  700 1260  945

que se define por $S(i,j) = i\ S(i-1,j) + (i+j)\ S(i-1,j-1)$ y $S(0,1)=1$ y $S(i,j)=0$ si $j<1$ o $j>i+1$ . Esta matriz tiene la notable propiedad de que la suma de los números en el $i$ La fila es $(i+1)^{i+1}$ . Esto no es fácil de demostrar. Hay tres enfoques que conozco para demostrarlo

1. Generación de funciones.
2. Recuento de subclases de árboles etiquetados.
3. Generalización a una matriz tridimensional de números. Hay recurrencias en dos conjuntos de planos paralelos, que se cruzan en las filas. Un conjunto de planos paralelos contiene la matriz anterior, y el otro conjunto contiene una recurrencia de la que se pueden deducir inmediatamente las sumas de las filas. Demostrar que estos dos conjuntos diferentes de recurrencias dan la misma matriz es sencillo (aunque tedioso sin álgebra computacional) utilizando la inducción.

(Véase Peter Shor, Otto G. Ruehr, Revista SIAM , columna de Problemas y Soluciones, Vol. 21, pp. 258-260 (1979) .)

El tercer enfoque es una reminiscencia de la teoría A = B de Wilf y Zeilberger de las identidades combinatorias, excepto que aquí tienes matrices tridimensionales con recurrencias en tres conjuntos de planos paralelos. La teoría de Wilf y Zeilberger no parece arrojar ninguna luz sobre esta recurrencia.

Mi pregunta es: ¿conoce alguien otras matrices tridimensionales que tengan recurrencias en dos conjuntos de planos paralelos, pero que no caigan bajo la teoría A = B (por lo que no se puede encontrar una recurrencia en un tercer conjunto de planos paralelos)? Me interesaría especialmente las recurrencias cuyos coeficientes sean polinomios en las coordenadas $i,j,k$ .

Para más información sobre la conexión con los árboles etiquetados, aunque esto no está directamente relacionado con mi pregunta, consulte los documentos Chen y Guo, Biyecciones detrás de los polinomios de Ramanujan y Guo y Zeng, Una generalización de los polinomios de Ramanujan y árboles planos así como las referencias en ellos.

Answer 1

Me parece que hay un error en la definición anterior. Lo he implementado en Pari/GP y he tenido que corregir el $(i+j)$ -término a $(i+j+1)$ .

Pari/GP

\\ use "r" and "c" for row- and col-indexes   
\\ indexes are based on 1, not 0, so I have to add 1:     
\\       use "r1","c1" for index into matrix    
S=matid(dim);
for(r=1,dim-1, r1=r+1;   \\ introduce 1-based index into matrix "r1"  
        S[r1,1]=r!;    
        for(c=1,r,  c1=1+c;     \\ introduce 1-based index into matrix "c1"        
              S[r1,c1] = r*S[r1-1,c1] + (r+c+1)*S[r1-1,c1-1]    
           )    
    )   
 print(S) ;