Supongamos que $G$ es un grupo de orden $36$ con un subgrupo $H$ de orden $9$ . Demuestre que $H$ es normal en $G$ o hay un subgrupo $K$ ...

Question

Supongamos que $G$ es un grupo de orden $36$ con un subgrupo $H$ de orden $9$ . Demuestre que $H$ es normal en $G$ o hay un subgrupo $K$ contenida en $H$ de orden $3$ que es normal en $G$ .

Esta es la cuestión y esto es lo que he conseguido:

Desde $G$ tiene orden $36=2^2\times3^2$ entonces cualquier subgrupo de orden $9$ es un Sylow $3$ subgrupo. Sea $n_3$ denotan el número total de Sylow $3$ subgrupos de $G$ . Entonces Sylow nos dice que $n_3 \equiv 1 \mod {3}$ y $n_3|4$ por lo que podemos concluir $n_3=1$ o $n_3=4$ en el caso $n_3=1$ entonces el subgrupo es único y como los subgrupos Sylow son conjugados entonces tenemos que es un subgrupo normal, así que esta es la primera parte de la pregunta.

Así que queda por demostrar que si $n_3=4$ entonces hay subgrupos normales de $G$ de orden $3$ contenida en cada uno de los $4$ Sylow $3$ subgrupos. No sé cómo probar esto.

¿Algún consejo?

Answer 1

Para $n_3=4$ si cada Sylow $3$ -subgrupo se cruza en la identidad, habrá $9\times4-1=35$ elementos de orden $3$ o $9$ pero luego el Sylow $2$ -subgrupo no existirá en este caso por lo que una contradicción.

Así que hay $2$ distinto de Sylow $3$ -subgrupos $P$ y $Q$ tal que $|P\cap Q|=3$ . Sea $M=P\cap Q$ . Desde $P$ y $Q$ son abelianas, $P,Q\leq N_G(M)$ por lo que $|N_G(M)|>9$ . Utilizando el Teorema de Sylow aplicado a $N_G(M)$ , $|N_G(M)|=3^2k$ donde $k\geq 4$ . Por lo tanto, $N_G(M)=G$ y $M\lhd G$ .