Cómo calcular rápidamente el determinante de una matriz dada

Question

Necesito encontrar el determinante de una matriz dada:

$\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&2\\ 0&1&0&0&2&0\\ 0&0&1&2&0&0\\ 0&0&2&1&0&0\\ 0&2&0&0&1&0\\ 2&0&0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$

Sé que se puede calcular con la ayuda de las operaciones de fila; aplicando

R1 $\to$ R1 + R2+R3+R4+R5+R6, y posteriormente simplificar mediante otras operaciones de fila para encontrar el determinante.

Sin embargo mi pregunta es : ¿Existe alguna otra forma de calcular el determinante de forma rápida?, porque las operaciones de fila llevan bastante tiempo y son propensas a errores.

He pensado en utilizar los valores propios aquí pero no he podido llegar a la solución

¿Puede alguien ayudarme a encontrar rápidamente este determinante?

Gracias

Answer 1

Reordenando las filas y las columnas se puede ver que el determinante es igual al de a matriz diagonal en bloque :

$$ \begin{vmatrix} 1&2&0&0&0&0\\ 2&1&0&0&0&0\\ 0&0&1&2&0&0\\ 0&0&2&1&0&0\\ 0&0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&2&1\\ \end{vmatrix} = \left(\begin{vmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{vmatrix}\right)^3 $$

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O con Complementos de Schur : Tenemos $$ M = \begin{pmatrix} A & B \\ C &D \end{pmatrix} \text{ with } A = D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ and } B = C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2& 0 & 0 \end{pmatrix} $$ y por lo tanto (con $I_3$ que denota la $3\times 3$ matriz de identidad): $$ \det M = \det(A) \det(D - CA^{-1}B) = \det(I_3 - B^2) = \det(-3I_3) = -27 \, . $$

Answer 2

Mirando la matriz, creo que se puede resolver este problema recursivamente.

Por lo tanto, dejemos que $X_6$ su matriz (la matriz que tiene la diagonal principal con $1$ s y la diagonal secundaria sólo con $2$ s. Entonces, usando Laplace en la primera fila, se puede obtener una relación con la versión 4x4 de la matriz. $$\det{X_6} = -3\det{X_4}$$ .

A continuación, sigue aplicando esta recurrencia hasta llegar a la versión 2x2. Entonces, no sólo encuentras el determinante de tu matriz, sino que puedes generalizarlo a cualquier matriz de este tipo con número par de filas.

Answer 3

O

$$ P^T H P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 3 \\ \end{array} \right) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 3 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$