¿Cuál fue la importancia relativa de la FLT frente a las leyes de reciprocidad superiores en la invención de la teoría algebraica de números de Kummer?

Question

Esta pregunta se inspira en parte en esta respuesta de Bill Dubuque, en el que señala que la creencia bastante común de que Kummer estaba motivado por la FLT para desarrollar su teoría de los campos numéricos ciclotómicos es esencialmente infundada, y que Kummer estaba más bien movido por el deseo de formular y demostrar leyes generales de reciprocidad superior.

Mi propia interpretación (no especialmente bien informada) es que el problema de las leyes de reciprocidad superiores fue, en efecto, una de las motivaciones sustanciales de Kummer; después de todo, este problema es una consecuencia directa del trabajo de Gauss, Eisenstein y Jacobi (¿y otros?) en la teoría de los números. Sin embargo, Kummer también trabajó en la FLT, por lo que debió considerar que era de algunos importancia (es decir, lo suficientemente importante como para trabajar en ella).

¿Existe una opinión consensuada sobre el papel de la FLT como factor de motivación en el trabajo de Kummer? ¿Fue su trabajo en ella una idea tardía, algo que vio posible utilizando toda la maquinaria que había desarrollado para estudiar las leyes de reciprocidad superiores? ¿O le dio más importancia que eso? (¿Estoy en lo cierto al pensar también que había premios relacionados con su solución que también podrían que también podrían haber desempeñado un papel en la dirección de su atención? Si es así, ¿desempeñaron realmente ese papel?)

Answer 1

Cuando Kummer comenzó a trabajar en problemas de investigación, intentó resolver lo que se conoció como "el problema de Kummer", es decir, la determinación de sumas cúbicas de Gauss (su cubo es fácil de calcular). Kummer pidió a Dirichlet que averiguara si Jacobi u otra persona ya había trabajado en ello, y que le enviara todo lo escrito por Jacobi sobre este tema. Dirichlet organizó las notas de las conferencias de Jacobi sobre teoría de números de 1836/37 (véase también esta pregunta ), donde Jacobi había elaborado las leyes de reciprocidad cuadrática, cúbica y leyes de reciprocidad bicadráticas utilizando lo que ahora llamamos sumas de Gauss y Jacobi de Gauss y Jacobi.

En su primer artículo, Kummer trató de generalizar un resultado debido a Jacobi, que había demostrado (o más bien afirmado) que los primos $5n+1$ , $8n+1$ y $12n+1$ dividido en cuatro primos en el campo de las raíces 5ª, 8ª y 12ª de la unidad. La prueba de Kummer de que los primos $\ell n+1$ dividido en $\ell-1$ primos en el campo de $\ell$ -raíces de la unidad (con $\ell$ un primo impar) era errónea, y finalmente condujo a su introducción de los números ideales.

Después de que Lame (1847) diera su "prueba" de la FLT en París, Liouville había observado que hay lagunas relacionadas con la factorización única; entonces preguntó a su amigo Dirichlet en una carta si sabía que la hipótesis de Lame era válida (Liouville sólo conocía contraejemplos para campos cuadráticos). Unas semanas más tarde, Kummer escribió una carta a Liouville. En las semanas intermedias, Kummer había mirado el FLT y encontró una prueba basada en varias suposiciones, que más tarde resultó ser válida para primos regulares. Kummer debe haber mirado la FLT antes, porque en carta a Kronecker dijo que "esta vez" encontró rápidamente el enfoque correcto.

El Premio de París, como ya escribió John Stilwell, sí jugó un papel para Kummer, como confesó en una de sus cartas a Kronecker que se encuentra en los Collected Papers de Kummer. Pero desde el punto de vista matemático, Kummer sólo daba importancia a las leyes de reciprocidad superiores.

Kummer elaboró la aritmética de las extensiones ciclotómicas guiadas por su deseo de encontrar las leyes de reciprocidad superiores; nociones como como la factorización única en números ideales, el grupo de clases ideales las unidades, la relación de Stickelberger, Hilbert 90, los residuos de norma y Las extensiones de Kummer deben su existencia a su trabajo sobre las leyes de reciprocidad. Su trabajo sobre el último teorema de Fermat está relacionado con la fórmula del número de clase y el número de clase "plus", y una meticulosa investigación de las unidades, en particular el lema de Kummer, así como las herramientas necesarias para demostrarlo, sus logaritmos diferenciales, que mucho más tarde fueron generalizados por Coates y Wiles. Algunos de estos últimos temas fueron útiles para Kummer más tarde, cuando demostró su ley de reciprocidad superior.

Aquí está mi artículo sobre los números ideales de Jacobi y Kummer .

Answer 2

Franz Lemmermeyer está mejor calificado que yo para responder esta pregunta, y sin duda sabe todo sobre la motivación de Kummer de leyes de reciprocidad. Sin embargo, para responder a algunas partes de su pregunta: Kummer Kummer publicó trabajos sobre el último teorema de Fermat, y recibió un premio premio de la Academia de París en 1857 por su trabajo sobre el FLT.

Se le consideró para su largo documento en el J. de Math. Pures et Appl. de 1851. Esta fue su primera exposición ampliada de su trabajo sobre sobre los enteros ciclotómicos y la factorización ideal de los primos, y lo concluyó demostrando un caso especial de FLT. Por lo tanto, incluso si su verdadera motivación eran las leyes de reciprocidad reciprocidad, aparentemente pensó que la mejor manera de "vender" su teoría al menos a los franceses) era mediante una aplicación a la FLT.

Answer 3

Yo también me remito a los profundos conocimientos de Franz sobre estos temas. Todo lo que he leído, tanto en la literatura primaria como en la secundaria, coincide completamente con lo que Franz ha escrito aquí y en otros lugares. Además del enlace que di a la discusión en su interesante papel sobre los números ideales de Jacobi y Kummer, también puede ser útil el siguiente pasaje de la página 15 de su hermoso libro sobre las leyes de reciprocidad. Ofrece un resumen conciso de lo que sabemos actualmente sobre estas cuestiones. Lo cito a continuación ya que algunos lectores pueden no tener un acceso conveniente al libro.

El papel del último teorema de Fermat en el desarrollo del álgebra algebraica, probablemente debido a la historia (falsa) de Hensel de Hensel, que afirma que el primer manuscrito de Kummer era una de este problema. La crème de la crème de los matemáticos franceses - Lame, Legendre, Liouville y Cauchy - probaron su suerte pero no realmente avanzaron la teoría algebraica de los números durante su trabajo en la FLT. Gauss no lo valoró mucho, pero admite que le hizo retomar sus investigaciones sobre la teoría de los números: en una carta a Olbers del 21 de marzo de 1816, escribe

Admito que el Teorema de Fermat, como resultado aislado, tiene poco interés para mí, ya que puedo hacer fácilmente un montón de afirmaciones de este tipo que no se pueden demostrar ni refutar. Sin embargo, me hizo retomar de nuevo algunas viejas ideas sobre una gran extensión de la aritmética superior. [...] Sin embargo, estoy convencido de que, si la suerte hace más de lo que puedo esperar y si logro dar algunos de los pasos principales de esa teoría, entonces el Teorema de Fermat aparecerá como uno de los menos interesantes corolarios.

La última observación de Gauss indica claramente que al menos pensaba sobre la aritmética en campos numéricos ciclotómicos ${\mathbb Q}(\zeta_p)$ Incluso cuando, en una carta a Bessel unos meses después, revela que las investigaciones en cuestión tenían que ver con la parte que finalmente que finalmente publicaría, a saber, la teoría de los residuos bicadráticos. Partes de sus investigaciones fueron publicadas en 1828 [272] y 1832 [273], y el último artículo contiene la afirmación de que la reciprocidad cúbica se describe mejor descrita en ${\mathbb Z}[\rho]$ , donde $\rho^2 + \rho + 1 = 0$ y que, en general, el estudio de las leyes de reciprocidad superiores debe hacerse después de adosar raíces superiores de la unidad.

Incluso Kummer, responsable del mayor avance hacia de Último Teorema de Fermat antes de los recientes desarrollos, obtuvo el principal motivación para estudiar los campos ciclotómicos de su deseo de encontrar un ley de reciprocidad general (a la que llamó su "principal enemigo" en [Ku, Feb 25, 1848]). En casi todas las cartas a Kronecker escritas entre 1842 y 1848, Kummer menciona resultados relacionados con la reciprocidad; la ecuación de Fermat se menciona por primera vez en [Ku, 2 de abril de 1847]. En [Ku, 17 de septiembre de 1849] informa a Kronecker sobre el premio de 3000 Francos que la Academia Francesa había ofrecido pagar por una solución de último teorema de Fermat, y en [Ku, 14 de enero de 1850] escribe

Una vez que haya comprendido si esto es así o no, entonces dejaré los planes avariciosos y trabajaré de nuevo sólo para la ciencia, especialmente para las leyes de reciprocidad para las que ya he previsto algunas ideas.

Por lo tanto, se puede decir que fue la búsqueda de una mayor leyes de reciprocidad que hizo que Kummer estudiara las extensiones abelianas de $\mathbb Q$ , Eisenstein los de ${\mathbb Q}(i)$ y las de Hilbert de los campos numéricos generales. Irónicamente, fue el propio Hilbert quien inició el rumor de que fue el que fue el FLT el que llevó a Kummer a sus números ideales: en su famoso discurso en el ICM en París 1900, escribió

estimulada por el problema de Fermat, Kummer llegó a la introducción de sus números ideales y descubrió el teorema de la factorización única de los enteros de los campos ciclotómicos en factores primos ideales.

Ya en 1910, Hensel hablaba de "pruebas incontestables" (en realidad era era algo que Gundelfinger había escuchado de H.G. Grassmann) de la existencia de un manuscrito en el que Kummer había afirmado haber resuelto último teorema de Fermat, un rumor que finalmente fue descartado por Edwards [Ed1, Ed2] y Neumann [Neu].