El conjugado armónico de $\Im e^{z^2}$ ?

Question

Es evidente que $e^{z^2}$ es analítico, ¿verdad? Así que el conjugado armónico de $\Im e^{z^2}$ es $\Re e^{z^2}$ ¿No es así?

Sin embargo, el manual de soluciones que estoy consultando da la respuesta como $\Im (-ie^{z^2})$ que no es la misma función, y no lo entiendo.

Answer 1

Para las funciones de valor real $u(x,y)$ y $v(x,y)$ decimos que $v$ es un conjugado armónico de $u$ si $u+iv$ es analítico. Esto es no una relación simétrica entre $u$ y $v$ . Por ejemplo, $e^x\sin y$ es un conjugado armónico de $e^x\cos y$ porque $e^x\cos y+ie^x\sin y=e^z$ es analítico, pero $e^x\cos y$ es no un conjugado armónico de $e^x\sin y$ porque $e^x\sin y+ie^x\cos y$ es no analítica (comprueba las ecuaciones de Cauchy-Riemann).

Si $v$ es un conjugado armónico de $u$ lo que significa que la función $f(z)=u+iv$ es analítica, entonces $-if(z)=v-iu$ siendo un múltiplo constante de $f(z)$ también es analítica; esto demuestra que $-u$ es un conjugado armónico de $v$ , En otras palabras , $-\Re f(z)$ es un conjugado armónico de $\Im f(z)$ .

Para repetirlo una vez más: aunque $\Im f(z)$ es un conjugado armónico de $\Re f(z)$ (suponiendo que $f(z)$ es analítico), es $-\Re f(z)$ , no $\Re f(z)$ que es un conjugado armónico de $\Im f(z)$ . Esto es cierto para cualquier función analítica $f(z)$ , incluyendo su función problemática $f(z)=e^{z^2}$ .

Answer 2

Dejemos que $w = a + bi$ . Tenga en cuenta que $\text{Im } (iw) = \text{Im } (-b + ai) = a = \text{Re } (w)$ .

Así que sí, es la misma función hasta un signo menos, que no sé de dónde viene - tal vez viene de la definición específica del manual de un conjugado armónico.