Categorías bien definidas frente a topoi bien definidos

Question

Al leer la definición de una categoría bien señalada en, por ejemplo, Wikipedia, sólo se da la siguiente condición:

1. El objeto terminal 1 es un generador.

Sin embargo, la definición general de un topos bien señalado también menciona:

2. El objeto terminal no es un objeto cero (es decir, no es inicial al mismo tiempo)

Puedo ver cómo ser inicial arruinaría las probabilidades de ser un generador, ya que sólo hay un morfismo único desde el objeto inicial a cualquier otro objeto. Pero si ésta fuera la única razón para incluir la condición 2, entonces la condición 1 sería suficiente.

¿Hay alguna razón más genuina para incluir la condición 2?

Answer 1

El comentario de Malice da en el clavo: Hay teoremas importantes que sólo se sostienen para topos bien señalados si bien señalado se define tal cual.

Un ejemplo de este teorema es que la lógica interna del topos coincide con la externa (donde sólo se habla de elementos globales). Para el topos trivial (cuya categoría consiste en un solo objeto), esta equivalencia falla bastante, porque en la lógica interna del topos trivial vale cualquier afirmación, incluyendo " $\bot$ " (falsedad), que no se sostiene externamente.

Su pregunta es una de esas en las que el cambio a una metateoría constructiva aporta más información. En concreto, constructivamente, necesitamos aún más condiciones (condiciones que clásicamente se satisfacen siempre). Entonces se hace evidente que "excluir el topos trivial" es en realidad una pista falsa.

Puede encontrar más detalles sobre ambos puntos en el nLab .