Hay una única o la mejor razón por la que 2 es un excepcional prime?

Question

Recientemente he estado estudiando algo elemental a la teoría de números, y he vienen con frecuencia a través del hecho de que hay un buen número de resultados (la principal de ellas fue la ley de la reciprocidad cuadrática) para que $2$ tiene que ser tratada como un caso especial, por separado de los impares, números primos.

Mi pregunta es ¿por que es esto. Puedo ver que hay razones en cada prueba que el teorema no se sostenga por $2$ (bastante común es el hecho de que $2-1$ no es divisible por $2$), pero tengo curiosidad por ver si hay un marco teórico de la razón. Mi mejor conjetura es que podría tener que ver con el hecho de que $\left ( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \right )^\times$ es trivial, a pesar de que puede ser simplemente una más elegante manera de decir que $2-1 = 1$.

Estoy, por supuesto, abierto a la posibilidad de que hay una variedad de razones por las que $2$ es una excepcional prime, pero tengo la curiosidad de lo que son y si hay un mejor ejemplo, o un ejemplo más común.

Answer 1

Muchas de las más significativas excepciones parecen porque de $1\equiv -1$ modulo 2. Por lo que el razonamiento "$x=-x$, por lo $x=0$" no está disponible en carácter 2.

Answer 2

He de decir que la razón por la $2$ es de especial es que $2$ es el más pequeño de prime en los números naturales.

Answer 3

A recoger en su ejemplo, la reciprocidad cuadrática tiene todo que ver con las raíces de las ecuaciones cuadráticas - y la presencia de un 2 en el denominador de la fórmula cuadrática $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} $$ es lo que los tornillos de las cosas. Del mismo modo, la correspondencia entre cuadráticas formas y formas bilineales consiste en dividir por 2, en el que los tornillos de las cosas a las 2 en la teoría algebraica de números, por ejemplo.

Answer 4

A un menor nivel de primaria, cuando la característica de un campo es $2$, y sólo en este caso, la relación entre el producto tensor $V\otimes V$ y la simetría del producto ${\rm Sym}_2(V)$ es menos sencillo. Esto tiene importantes implicaciones para la teoría de las formas cuadráticas (que es lo básico en la Teoría de los números).

Answer 5

Creo que otra importante fuente de excepcionalidad para el prime $2$ es que si $n$ es extraño, entonces, en el hecho de $n^2\equiv1\bmod4$ mientras que para cada prime $p>2$ hay números de $n$ tal que $n^2\equiv1\bmod p$ pero $n^2\not\equiv1\bmod p^2$ (es decir, no hay plazas $\equiv3\bmod4$).

Si esta, filosóficamente, es una "manifestación de pequeñez" no estoy del todo seguro.