criterio para mostrar que el colector sólo admite un haz principal trivial

Question

Supongamos que $M$ a $n-$ dimensión del colector y $N$ a $n-$ dimensión con límite. Si existe una incrustación $N\to M$ y $M$ sólo admite un principal trivial $G$ paquete. ¿Podemos demostrar que $N$ sólo admite el principal trivial $G$ ¿un paquete?

Mi motivación es tratar de probar que cada compacto $3$ sólo admite la trivialidad $SU(2)$ paquete utilizando el derrame de Heegaard. Lo que quiero hacer es demostrar que todo cuerpo de asas sólo admite el trivial $SU(2)$ paquete y utilizando la función de embrague para pegar dos handlebody con trivial $SU(2)$ paquete juntos. Al igual que la prueba de que cada $SU(2)$ haz de la mano sobre $\mathrm{S}^3$ es trivial.

Dado un cuerpo de asa $H$ y un director $SU(2)$ paquete $P$ en él. Para demostrar $P$ es trivial, noto que puedo encontrar otro cuerpo de asa y pegarlos para obtener una esfera, entonces podemos usar el hecho de que cada $SU(2)$ sobre esfera es trivial. Así que lo que tengo que hacer es encontrar un haz principal adecuado del otro cuerpo de asa tal que este haz junto con $P$ dar un $SU(2)$ haz de la mano sobre $\mathrm{S}^3$ . Pero no consigo construir este tipo de paquete. Así que vengo aquí para preguntar si hay una construcción de tal paquete, o la pregunta que hice en el primer párrafo tiene una respuesta positiva.

Answer 1

La respuesta a la pregunta del primer párrafo es no : Si $M$ es el plano cartesiano y $N$ es un anillo cerrado, entonces

• Cada paquete principal sobre $M$ es trivial porque $M$ es contraíble;
• Existe una solución no trivial $O(1) = \{1, -1\}$ haz principal sobre $N$ .

Esto no responde a su pregunta de motivación, pero sí parece decir que hay que tener en cuenta los aspectos específicos de $SU(2)$ -sobre tres manifolds. Dado que las funciones de agarre de un $SU(2)$ El haz principal sobre un complejo CW tridimensional puede verse como $SU(2)$ -sobre puntos, curvas o superficies, se puede argumentar (modulando los detalles) que son homotópicas a los mapas constantes ya que $SU(2)$ menos un punto es contraíble.

Answer 2

Permítame responder a la verdadera pregunta que le interesa. Supongamos que $M$ es una variedad tridimensional (conectada) (posiblemente con límites, posiblemente no compacta, no importa). Para cada grupo de Lie $G$ , director $G$ -bundles over $M$ son clasificado por clases de homotopía de mapas $M\to BG$ . En el caso de los intereses, $G=SU(2)$ y, por lo tanto, $BG={\mathbb H}P^\infty$ Ver la respuesta de Tyrone aquí eso merece otro upvote. Por lo tanto, todos los grupos de homotopía de $BG$ se desvanecen en grados $\le 3$ . Desde $M$ es tridimensional, se deduce que todo mapa $M\to BG$ es nulo-homotópico. Por lo tanto, todo principal $SU(2)$ -Acabar con el paquete $M$ es trivial.