Ito isometría para diferentes intervalos de tiempo

Question

Sin dar demasiados detalles técnicos, la isometría de Ito dice

$$ \mathbb{E}\bigg[\Big(\int^t_0 X_s d W_s\Big) \Big(\int^t_0 X_s d W_s\Big)^T \bigg] = \int^t_0 X_s\,X_s^T ds, $$

para algún movimiento browniano adecuado $W_t$ .

¿Qué tal en las dos integrales anteriores $t$ no son lo mismo? Así es,

$$ \mathbb{E}\bigg[\Big(\int^{t_1}_0 X_s d W_s\Big) \Big(\int^{t_2}_0 X_s d W_s\Big)^T \bigg] = ? $$

¿Es igual a $\int^{\mathrm{min}(t_1, t_2)}_0 X_s\,X_s^T ds$ ? En caso afirmativo, ¿cómo se puede demostrar?

Answer 1

Bueno su intuición es correcta aquí es por qué, suponiendo $t_1<t_2$ :

$$\mathbb{E}\bigg[\Big(\int^{t_1}_0 X_s d W_s\Big) \Big(\int^{t_2}_0 X_s d W_s\Big)^T \bigg] =\mathbb{E}\bigg[\Big(\int^{t_1}_0 X_s d W_s\Big) \Big(\int^{t_1}_0 X_s d W_s+\int^{t_2}_{t_1} X_s d W_s\Big)^T \bigg]=$$ $$\mathbb{E}\bigg[\Big(\int^{t_1}_0 X_s d W_s\Big) \Big(\int^{t_1}_0 X_s d W_s\Big)^T \bigg]+\mathbb{E}\bigg[\Big(\int^{t_1}_0 X_s d W_s\Big) \Big(\int^{t_2}_{t_1} X_s d W_s\Big)^T \bigg]$$

Ahora observe que el segundo término es nulo ya que las dos variables aleatorias son independientes ya que la primera integral pertenece a $\mathcal{F}_{t_1}$ y el segundo a $\mathcal{F}_{t_2, t_1}$ que son independientes. Te quedas con el término para el que ya conoces el resultado.