Hace tiempo leí un problema sobre la probabilidad de un accidente aéreo. No lo recuerdo bien pero intentaré escribirlo aquí. Por favor, dime si no tiene sentido y corrígeme.
Cualquier motor de un avión tiene un 50% de posibilidades de fallar durante el viaje y si la mitad de los motores sobreviven durante el viaje, el avión llegará a su destino. ¿Qué viaje en avión sería más seguro, el de cuatro motores o el de dos?
El avión cuatrimotor se estrellará si más de la mitad de sus motores fallan durante el viaje. Esto ocurre cuando $3$ de los motores fallan o todos $4$ fallar.
La probabilidad de $3$ Los motores que fallan son $$\dbinom{4}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{4}$$
y la probabilidad de $4$ Los motores que fallan son $$\dbinom{4}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$
por lo que la probabilidad de que un avión cuatrimotor se estrelle es $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$ .
El avión bimotor se estrellará si más de la mitad de sus motores fallan durante el viaje. Esto sólo ocurre cuando fallan los dos.
La probabilidad de $2$ Los motores que fallan son $$\dbinom{2}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
por lo que la probabilidad de que un avión bimotor se estrelle es $\displaystyle \frac{1}{4}$ .
Así, obtenemos el irónico resultado de que el avión bimotor es más seguro que el cuatrimotor.
Para el caso general, si estamos preocupados por $n+1$ a $2n$ motores que fallan, la probabilidad sería $$\sum_{i=n+1}^{2n} \dbinom{2n}{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n}$$
Llamemos a esta suma $S$ . Como $n$ se acerca a $\infty$ observamos que $$\sum_{i=0}^{2n} \dbinom{2n}{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} = 1 = \sum_{i=0}^{n-1} \dbinom{2n}{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} + \sum_{i=n+1}^{2n} \dbinom{2n}{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} + \dbinom{2n}{n} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n}$$
$$ = 2S + \dbinom{2n}{n} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} \approx 2S$$
y podemos ver que $S$ se acerca a $\displaystyle \frac{1}{2}$ .
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