Para resolver una EDP por separación de variables

Question

Para resolver: $\displaystyle py^3+qx^2=0$

donde $p = \dfrac{\partial z}{\partial x}$ , $q = \dfrac{\partial z}{\partial y}$ .

Mi intento:

Dejemos que $\displaystyle z=X(x)Y(y)$ . Así que, $\displaystyle X'Yy^3+XY'x^2=0$

Separar las variables, $\displaystyle \frac{X'}{Xx^2}=\frac{-Y'}{Yy^3}$

¿Cómo puedo integrar esto? $X$ es una función desconocida y $x$ es una variable. ¿No sé cómo proceder?

Answer 1

Tienes

$$\dfrac{X'}{Xx^2} = -\dfrac{Y'}{Yy^3}$$

donde el LHS no puede contener ningún término de $y$ (como $X$ es puramente una función de $x$ ), y el RHS, de forma similar, no puede contener ningún término de $x$ . Pero como los dos son iguales, esto implica que no pueden contener ningún término de $x$ o $y$ $-$ en otras palabras, son iguales a una constante (digamos $k$ ). Así:

$$\dfrac{X'}{Xx^2} = -\dfrac{Y'}{Yy^3} = k \Rightarrow\\ X' = kXx^2,\ -Y' = kYy^3 \Rightarrow\\ \boxed{X' - kx^2X = 0\\ Y' + ky^3Y = 0}$$

Se trata de EDOs que pueden resolverse fácilmente (y $k$ es una constante arbitraria).