Hay mucho que aquí la dirección. Usted podría llegar a cualquier de los siguientes puntos:
La existencia de $\Pi_1^0$ declaraciones: Una declaración que se llama $\Pi_1^0$ si, si fuera falsa, podría ser refutada por una cantidad finita de datos. Goldbach es una conjetura, "todo número par es la suma de dos números primos", es $\Pi_1^0$, debido a desmentir que sólo tiene que dar un número $2n$, y un factor no trivial de de $2n-p$ para cada uno de los prime $p < 2n$. Un $\Pi_1^0$ declaración, si indecidible, es siempre verdadera. Ver Wikipedia para la definición rigurosa y mucho más.
Está lejos de ser el caso que todos los problemas interesantes en la teoría de números se $\Pi_1^0$. Considere la posibilidad de la doble primer conjetura, "existen infinitos pares de números primos que difieren por $2$." Esto podría ser indecidible en dos formas diferentes. Tal vez es cierto, pero no podemos probarlo. O, tal vez, no hay ninguna doble de los números primos pasado $10^{10^{10}}$, y no podemos probar que. De cualquier manera, ninguna cantidad finita de datos va a resolver el problema.
Goodstein del teorema no es $\Pi_1^0$: Contrario a su declaración, de una cantidad finita de datos no puede desmentir el teorema de Goodstein. Supongamos que usted sabía que el Goodstein secuencia a partir de a $100$ no terminar. Cómo podría convencer a mí o este con cualquier finito de cálculo?
Ahora, de hecho, el teorema de Goodstein es cierto, porque la inducción hasta el $\epsilon_0$ es válido. Ver este MO pregunta para más. Pero tenga en cuenta la conjetura de Collatz. Como el teorema de Goodstein, se dice que una forma recursiva definida por la secuencia de inicio en cualquier entero finalmente termina. Es perfectamente posible que Collatz a ser indecidible y verdadero o indecidible y falso.
ZFC no resultar más que PA: La prueba de Goodstein del teorema puede formalizarse en ZFC. Puede que la intuitiva prueba de que la PA es consistente, es decir, "por supuesto que es coherente, es un conjunto de enunciados verdaderos acerca de $\mathbb{Z}$!" Así que es cierto que el ser indecidible en ZFC es mucho más fuerte que de ser así, en PA.
Un punto de la filosofía: Algunos matemáticos va a defender la creencia de que todas las declaraciones acerca de la $\mathbb{Z}$ son verdaderas o falsas (aunque pueden ser improbable de la actual axiomas), pero esto no tiene que ser cierto acerca de los conjuntos. La idea aquí es que no es sólo un conjunto de números enteros, pero hay muchos igual de buenas versiones de la teoría de conjuntos. Scott Aaronson defiende este punto de vista aquí; JDH defiende la "más de una teoría de conjuntos" aquí. (No sé si es o no JDH piensa que hay más de una versión de $\mathbb{Z}$.)
Tenga en cuenta que esto es mucho más fuerte que la afirmación de que todos los $\Pi_1^0$ afirmaciones son verdaderas o falsas. Scott, por ejemplo, presumiblemente, se cree que el gemelo primer conjetura es verdadera o falsa, aunque no hay una cantidad finita de cálculo podría jamás se asiente.
No he pensado lo suficiente en esta pregunta para formar una opinión, es en última instancia una cuestión de filosofía, no de matemáticas.
