$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{2 - x^2}} \frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}} \ dy\ dx$$ ¿Cómo convertir esto en forma polar ya que habría 2 partes? ¿Cuál es el uso de los límites x=0 a x=1 ya que no los encuentro en la solución?
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kobe
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Al dibujar la región de integración, se encuentra que consiste en un sector con límites $0 \le r \le \sqrt{2}$ , $\pi/4 \le \theta \le \pi/2$ y un triángulo con límites $0 \le \theta \le \pi/4$ , $0 \le r \le \sec\theta$ . Así que su integral se convierte en
$$\int_0^{\pi/4} \int_0^{\sec \theta} \cos \theta\, r\, dr\, d\theta + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{2}} \cos \theta\, r \, dr\, d\theta.$$
El dominio de integración viene dado por: $$ D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\},$$ pero como: $$ D = T\cup C, $$ $$ T = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1,0\leq y\leq x\},$$ $$ C = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1,x\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\}$$ donde $T$ es un triángulo y $C$ es un sector circular de radio $\sqrt{2}$ y la amplitud $\frac{\pi}{4}$ tenemos:
$$ I = \int_T \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,d\mu + \int_{C}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,d\mu $$ o: $$I = \int_0^{\pi/4} \int_0^{\sec \theta} \cos \theta\, r\, dr\, d\theta + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{2}} \cos \theta\, r \, dr\, d\theta,$$ o: $$ I = \int_{0}^{\pi/4}\frac{d\theta}{2\cos\theta}+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\log(1+\sqrt{2})+1-\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
