Hay muchas preguntas como ésta por todo el sitio, pero no encuentro ninguna que resuelva mi confusión: ¿cuáles son las definiciones formales de sumas directas, productos directos y productos tensoriales (en el sentido más general), y en qué se diferencian?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Uldreth
Puntos
924
Ni siquiera intentaré ser el más general con esta respuesta, porque admito que no tengo ni la más remota idea de que los conjuntos algebraicos pervertidos admiten productos tensoriales, por ejemplo, así que me ceñiré a los espacios vectoriales, pero estoy bastante seguro de que todo lo que digo sobre los espacios vectoriales funciona también para los módulos finitamente generados sobre anillos conmutativos. Y también que el concepto básico para todo Las sumas directas y los productos tensoriales son lo mismo, sólo que las estructuras algebraicas implicadas son diferentes.
Producto directo
Estoy bastante seguro de que el producto directo es el mismo que Producto cartesiano . Si $X$ y $Y$ son dos conjuntos, entonces $X\times Y$ el producto cartesiano de $X$ y $Y$ es un conjunto formado por todos los pedido pares de elementos de $X$ y $Y$ .
Por lo tanto, si $x\in X$ y $y\in Y$ entonces $(x,y)\in X\times Y$ .
Suma directa
Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb{F}$ entonces su suma directa $V\oplus W$ es el espacio vectorial cuyos elementos son pedido pares de elementos de $V$ y $W$ , dotado de la siguiente estructura lineal: $$ (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \\ \alpha(x,y)=(\alpha x,\alpha y), $$ donde $x,x_1,x_2\in V,\ y,y_1,y_2\in W$ y $\alpha\in\mathbb{F}$ .
¿En qué se diferencia del producto directo? Pues bien, el producto directo se puede realizar entre conjuntos arbitrarios, y no tiene nada que ver con las propiedades algebraicas, mientras que la suma directa también conlleva la estructura lineal.
Sin embargo, la mayoría de las veces, cuando se toma el producto directo de espacios vectoriales, se asume tranquilamente, o se afirma directamente la existencia de esta estructura lineal en el espacio del producto, y hay otra diferencia:
Si se toma un producto cartesiano de una cantidad infinita de espacios vectoriales, entonces un elemento de este espacio producto puede tener infinitas "componentes" no nulas, mientras que si se toma la suma directa de una cantidad infinita de espacios vectoriales, entonces un elemento de esa suma siempre tendrá "términos" finitos no nulos.
Producto tensorial
Oh, hombre, esto es muy diferente.
Básicamente, si compruebas las propiedades de una suma directa, verás que efectivamente se comporta como una suma. También, por ejemplo, el mapa que mapea $x\in V$ y $y\in W$ a $(x,y)\in V\oplus W$ no es en absoluto un mapa bilineal, como lo demuestra el hecho de que $\alpha(x,y)\neq(\alpha x,y)$ .
Pregunta: ¿Sería posible crear un tercer espacio vectorial a partir de $V$ y $W$ en cierto modo, que el "mapa de formación de pares" es bilineal, y por lo tanto este nuevo espacio se comporta un poco como un producto?
Otra pregunta, aparentemente no relacionada: Si tenemos un multilineal mapa de una suma directa de espacios vectoriales, entonces es posible representar de alguna manera este mapa como un lineal mapa, y que esta representación sea única?
Aunque las dos preguntas no parecen estar relacionadas, si la respuesta a ambas es afirmativa, entonces tal vez nuestro mapa multilineal aparecería como la composición del "mapa de formación de pares" con un único mapa lineal.
Estas reflexiones nos llevan al concepto actual de producto tensorial.
Definición:
Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo $\mathbb{F}$ . Además, dejemos que $U$ y $X$ sean también espacios vectoriales de dimensión finita sobre $\mathbb{F}$ .
Dejemos que $p:V\times W\rightarrow X$ sea un mapa multilineal. El par $(X,p)$ es el producto tensorial de $V$ y $W$ si para cada mapa multilineal $A:V\times W\rightarrow U$ existe un único mapa lineal $A^\otimes:X\rightarrow U$ tal que $$ A=A^\otimes\circ p. $$ --------------------
Normalmente denotamos $p(x,y)$ como $x\otimes y$ y $X$ como $V\otimes W$ .
Esto también funciona para cualquier cantidad de espacios vectoriales, pero elegí rodar con dos (lo mismo va para la suma directa y el producto directo también).
Después de esto, es habitual demostrar la existencia y la unicidad del producto tensorial. La unicidad en este caso significa que si existe otro producto tensorial de $V$ y $W$ entonces los dos espacios del producto tensorial son canónicamente isomorfos, y el $p$ está dado por la composición de los otros " $p$ mapa" y el isomorfismo.
La existencia suele darse construyendo directamente un producto tensorial. Un ejemplo elegante es suponer que $U$ es $\mathbb{F}$ (podemos hacerlo sin pérdida de generalidad, ya que el espacio de mapas multilineales $V\times W\rightarrow U$ es canónicamente isomorfo al espacio de los funcionales multilineales $V\times W\times U^*\rightarrow\mathbb{F}$ .), y tomar el espacio del producto tensorial como el dual del espacio de las funciones multilineales sobre $V\times W$ .
Una construcción más comprensible sería tomar el espacio del producto tensorial como el espacio de las funciones multilineales sobre $V^*\times W^*$ ya que los dos son canónicamente isomórficos.
También como comentario final, nótese que a diferencia de la suma directa, que siempre está formada por pares $(x,y)$ los elementos del espacio del producto tensorial son generado por parejas $x\otimes y$ pero no todos son pares.
