¿Puede existir ese conjunto de vectores?

Question

¿Es posible, dado $n\geq 3,$ para encontrar $\{\mathbf{x}_1,\;\mathbf{x}_2,\;\dots,\;\mathbf{x}_n\}\subset\mathbb{R}^n$ satisfactorio:

• $\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j$ linealmente independientes para cualquier $i,j$
• $\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j,\mathbf{x}_k$ linealmente dependiente para cualquier $i,j,k$

No veo por qué no sería posible, pero me cuesta encontrar un ejemplo explícito. Cualquier idea sería apreciada.

Answer 1

Que $\mathbf{x}_i$ y $\mathbf{x}_j$ son linealmente independientes significa que abarcan un plano $P_{ij}$ . Que $\{\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j,\mathbf{x}_k\}$ es linealmente dependiente significa que $\mathbf{x}_k \in P_{ij}$ . Para todos los distintos $i,j,k$ . Esto significa que $P_{ij} = P_{km}$ para todos $i\neq j$ y $k\neq m$ . Así que queda por encontrar $n$ vectores linealmente independientes entre sí en un plano. Tomemos por ejemplo $n$ puntos del círculo unitario en el primer cuadrante.

Answer 2

Esto es absolutamente posible.

Por ejemplo, dejemos que $$ \mathbf{x}_i=\langle1,i,0,0,\ldots,0\rangle. $$ Entonces, si $\alpha_i\mathbf{x}_i+\alpha_j\mathbf{x}_j=\vec{0}$ debe ser el caso que $\alpha_j=-\alpha_i$ para obtener la primera coordenada correcta... pero esto no funciona para la segunda coordenada.

Ahora, observe que el tramo de dos vectores cualesquiera es el subespacio bidimensional $\{\langle x,y,0,0,\ldots,0\mid x,y\in\mathbb{R}\}$ que claramente contiene cualquier tercer vector.

Answer 3

Si $n=3$ tenemos : $x_3 = x_1 + x_2 $
Es fácil ver que $(x_1,x_2)$ , $(x_1,x_2)$ , $(x_1,x_2)$ son linealmente independientes pero $(x_1,x_2,x_3)$ es linealmente dependiente.