Forma de Jordan de la matriz de la "tabla multiplicativa"

Question

Tengo que encontrar la forma jordana del $(10\times10)-$ matriz $A$ con el $n$ La fila formada por $n(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), \ \ 1 \leq n \leq 10$

He calculado el determinante de $(A-xI)$ utilizando la eliminación gaussiana, y tengo que el resultado es $x^9(x-1)$ , por lo que hay dos valores propios $x=0$ con multiplicidad algebraica $9$ y $x=1$ con multiplicidad algebraica $1$ (y así también la geométrica es $1$ ). Ahora tengo que entender la multiplicidad geométrica de $0$ y creo que podría ser $9$ (de nuevo usando la eliminación gaussiana), ¿es esto correcto?

Answer 1

Parcialmente sí, podemos exhibir nueve eigenvectores más o menos "obvios" de valor propio $0$ , a saber $(k,0\ldots,0,-1,0,\ldots,0)^T$ donde $-1$ está en el $k$ El lugar es el siguiente, $2\le k\le 10$ . Así que el núcleo es efectivamente de 9 dimensiones.

Sin embargo, el valor propio $1$ debería ser erróneo ya que $(1,2,\ldots,10)^T$ "claramente" es un vector propio con valor propio $1^2+2^2+\ldots+10^2$ .

Answer 2

Quiero agradecer a @Hagen von Eitzen por hacerme ver dónde estaba el error.

Dado $A-xI$ la matriz definida sobre, con la eliminación gaussiana del tipo: $n$ -Columna de la derecha $-$ $n$ por la primera columna, terminamos con una matriz de la forma

$\left(\begin{matrix}1-x & 2x & 3x &... \\ 2 & -x & 0 &... \\ 3 & 0 & -x &... \\ . & ... \\ . \\ . \end{matrix}\right)$

Es fácil demostrar por inducción que el determinante de esta matriz es $ \\x^9(x-(1+4+9+16+...+100))$

Hay dos valores propios:

$x=0$ que tiene multiplicidad algebraica $9$ y la multiplicidad geométrica $9$ Esto último porque, dado que $e_i:= (0,0,...,1,0,...,0)$ donde $1$ está en el $i$ los vectores $e_2,...,e_{10}$ son una base para el eigespacio.

$x=\sum_{k=1}^{10} k^2 $ que tiene multiplicidad algebraica y geométrica $1$

Así que la matriz en forma de Jordan será:

$\left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sum_{k=1}^{10} k^2=385 \\ \end{matrix}\right)$