Demostrando que si $(x_n) \rightarrow x$ entonces $\{x_1,x_2,...\}\cup{x}$ es compacto

Question

Quiero demostrar que si $(x_n)$ es una secuencia convergente en un espacio métrico, $(x_n) \rightarrow x$ entonces el subconjunto $X = \{x_1,x_2,...\}\cup{x}$ es compacto. ¿Es suficiente esta prueba?

Depuis $(x_n)$ converge, todas sus subsecuencias también deben converger. Ahora hay que demostrar $X$ es compacto, necesitamos mostrar cualquier secuencia en $X$ tiene una subsecuencia convergente. Por lo tanto, consideremos $(y_n) \subset X$ . Si $y_n = x$ para todos $n$ hemos terminado. Del mismo modo, si $y_n$ finalmente tiene infinitos términos iguales a $x$ , toma esa subsecuencia.

Así que nos queda el caso en el que sólo hay un número finito de términos de $y_n$ son $x$ . Escribir $(y_n) = \{y_1,y_2,...\}$ , tome la subsecuencia dada por la eliminación de los términos iguales a $x$ Así que $y_{n_k}=\{y_1,y_2,...\}\backslash \{x\}$ Esto es ahora claramente una subsecuencia de $(x_n)$ por lo que debe converger. Así, $X$ es compacto.

Eso parece demasiado sencillo, ¿me estoy perdiendo algo? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $(y_k)$ sea una secuencia arbitraria de términos de $\{x_i\}_{i=1}^{\infty}\cup \{x\}$ y que $d$ sea la métrica del espacio métrico. Dado que $x$ es un punto límite, para cada $n=1,2,3,\ldots$ hay un número infinito de valores de $k$ tal que $d(x,y_k)<1/n$ . Sea $k_1$ sea el más pequeño $k$ tal que $d(x,y_{k_1})<1$ . Para cada $i$ , defina $k_i$ inductivamente para ser el menor número entero tal que $k_i>k_{i-1}$ y $d(x,y_{k_i})<1/i$ . La subsecuencia $(y_{k_i})$ converge a $x$ y es una subsecuencia convergente de $(y_k)$ . Por lo tanto, toda secuencia tiene una subsecuencia convergente, como se afirma.

Answer 2

Además del enfoque de WMe6 que utiliza secuencias, también puede utilizar un argumento estándar de tapa abierta:

Necesitaremos la siguiente propiedad: si una secuencia $x_{n} \to x$ entonces cualquier conjunto abierto que contenga $x$ (el límite) debe contener todos los términos de la sucesión menos los finitos.

Así que ahora digamos que tenemos una cubierta abierta $\{O_{i}\}$ de $\{x_{1}, x_{2}, \dots\} \cup \{x\}$ encontrar el conjunto abierto $O$ en la tapa abierta que cubre $x$ . Por la propiedad indicada anteriormente, este conjunto abierto contiene todos los puntos de la sucesión menos un número finito. Sea $$ x_{1}, \dots, x_{N} $$ son los puntos que (potencialmente) NO contiene. Ahora consideramos los conjuntos abiertos $O_{1}, \dots, O_{N}$ donde $x_{i} \in O_{i}$ y luego la colección $$ O \cup \bigcup_{i=1}^{N} O_{i} $$ es una subcubierta finita de la cubierta abierta que contiene todos los puntos de $\{x_{1},x_{2}, \dots\} \cup \{x\}$ . Así que, de esta manera, podemos encontrar una subcubierta finita para cualquier cubierta abierta del conjunto, es decir, ¡el conjunto es comapcto!