Necesito saber si cada grupo cuyo orden es una potencia de un primo $p$ contiene un elemento de orden $p$? Debo proceder mediante la selección de un elemento $g$ del grupo y demostrando que no hay un elemento en $\langle g \rangle$ que tiene orden de $p$?
Respuestas
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Lissome
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De esta manera se sigue inmediatamente del teorema de Lagrange, usted no necesita ningún resultado más fuerte.
Si el orden del grupo es$p^k$$k \neq 0$, luego por el Teorema de Lagrange, el orden de cualquier elemento divide $p^k$.
Recoger algunas $x \in G, x \neq e$. A continuación, el orden de $x$$p^m$$1 \leq m \leq k$. Vamos
$$y:=x^{p^{m-1}} \,.$$
Probar que el orden de $y$$p$.
Hay algunos resultados que son mucho más fuertes que eso. Cauchy teorema establece que cada finito grupo cuyo orden está dividida por algunos de los mejores $p$ tiene un subgrupo de orden $p$. Y a partir del teorema de Sylow se puede deducir (aunque no inmediatamente) que si el orden del grupo es$p^n$, entonces existe un subgrupo de orden $p^k$ por cada $k=0,1,..,n$.
Una cosa más, un subgrupo de orden $p$ debe ser cíclico, es decir, no tiene que ser un elemento de orden $p$. Eso es porque por Langrange del teorema de la orden de cada elemento debe dividir el $p$ y dado que no es primo, entonces el orden debe ser $1$ o $p$. Cualquier elemento distinto de la identidad de hacer el truco.
Nota: del teorema de Lagrange no es suficiente para probar esto, ya que sólo los estados que, si el orden del grupo es $p^n$ luego cada subgrupo es de la forma $p^k$. Porque lo del teorema de Lagrange dice es que el orden de cada subgrupo debe dividir el orden del grupo. Así que usted realmente necesita un poco más, creo.
A finales de nota debido a los buenos comentarios: si bien el resultado no sigue directamente del teorema de Lagrange declaración. Se puede ser derivada a partir de éste, ya que está muy bien demostrado en otras respuestas. Así que usted puede evitar atractivo para un mayor resultado, tales como la del teorema de Cauchy, ya que son en un número finito de $p$-grupo (a lo que me refiero al decir que no siga directamente es que del teorema de Lagrange no hace referencia a $p$-grupos, por lo que hay matemáticas involucradas).
Alexander Gruber
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21477
No al grupo de la orden de $p^0=1$!
Aparte de eso, probar, primero, que si el orden de un elemento del grupo de $x$$mn$, luego el orden de $x^m$$n$. A continuación, puede mostrar directamente que si $x\in G$ $|G|$ es finito, $x^{|G|}$ es la identidad, o aplicar el teorema de Lagrange $\langle x \rangle$.
