Si la línea $x+y-1=0$ es una tangente a una parábola con foco (1,2) en A y que interseca la directriz en B y la tangente...

Question

Si la línea $x+y-1=0$ es una tangente a una parábola con foco (1,2) en A y que interseca la directriz en B y la tangente en el vértice C respectivamente, entonces encuentra el valor de AC.BC

En primer lugar, no han dado absolutamente ninguna información sobre la parábola, por lo que no me queda más remedio que suponer algún caso estándar

Si es de la forma $y^2=4ax$ el eje de la parábola es $y=2$

Así que $$(y-2)^2=4a(x-x_1)$$

La ecuación de la tangente a la parábola es $$y-2=m(x-x_1)+\frac am$$ Poniendo m=-1

$$y-2=x_1-x-a$$ $$x+y=2+x_1-a$$

Así que $$2+x_1-a=1$$ $$x_1=a-1$$

La distancia del vértice al foco es +a Así que
Tal y como se ha dado $$x_1+a=1$$ coordenada x del foco dado $$(a-1)+a=1$$ $$a=1$$ Entonces $$x_1=0$$ Ahora vértice=(0,2) Puedes intentar ahora encontrar la directriz y su punto de intersección con la tangente y el punto de intersección con la tangente en el vértice, entonces obtienes

                AC= square root of 2 
                BC=square root of 2 
   Now,
        AC.BC=2

Eso es todo lo que pude hacer.

Answer 1

Una respuesta parcial.

La parábola con foco $F=(1,2)$ y directriz $lx+my+l=0$ tiene ecuación $$(l^2+m^2)((x-1)^2+(y-2)^2)-(lx+my+l)^2=0$$ y experimentando en geogebra encontré que pasa a cumplir $y+x-1=0$ doblemente en $A$ : $(x,y)=(\frac{l-m}{l+m},\frac{2m}{l+m})$ (sustituir la línea $y=1-x$ en la ecuación de la parábola y comprueba que es un factor como $(mx+lx+m-l)^2$ ) por lo que es tangente allí para todos $l,m$ con $l+m\neq 0$ .

El director $lx+my+l=0$ se encuentra con $y+x-1=0$ en $B:(x,y)=(-\frac{l+m}{l-m},\frac{2l}{l-m})$ .

El eje es paralelo a $ -mx +ly$ y pasa por el foco, y corta la parábola en el vértice que es $V:(x,y)=(\frac{m(m-l)}{l^2+m^2},\frac{m^2-lm+2l^2}{l^2+m^2})$ por lo que la tangente en $V$ (que es paralelo a $lx+my=0$ y pasa por $V$ ) es $lx+my-m=0$ que cumple con $y+x-1=0$ en $C: (x,y)=(0,1)$ .

Ahora $$AC\cdot BC=\sqrt{\left(\frac{l-m}{l+m}-0\right)^2+\left(\frac{2\,m}{l+m}-1\right)^2}\sqrt{\left(-\frac{l+m}{l-m}-0\right)^2+\left(\frac{2\,l}{ l-m}-1\right)^2}=\sqrt{2\frac{(l-m)^2}{(l+m)^2}}\sqrt{2\frac{(l+m)^2}{(l-m)^2}}=2$$ para $l\pm m\neq 0.$ Cuando $l=m$ los puntos $A$ y $C$ coinciden y $B$ se va al infinito. Cuando $l=-m$ la parábola degenera en una línea doble $(x+y-3)^2=0$ que no es tangente a $x+y-1=0$ en el plano finito; $A$ se va al infinito con $B$ y $C$ coincidiendo.