¿Existe un número $a$ tal que $a^2$ es irracional, pero $a^4$ ¿es racional?

Question

Este problema es de Cálculo de Spivak, ahora piensas inmediatamente $a^2 = \sqrt{2}$ y $a^4 = 2$ Así que la respuesta al problema es sí. Pero, la forma en que Spivak ha desarrollado su libro:

1. Hasta ahora sólo tenemos los axiomas algebraicos (asociatividad, conmutatividad, unidades, inversiones, distributividad).
2. Significativamente, aún no tenemos el axioma de completitud.
3. Ya hemos demostrado que si hay un número $x$ tal que $x^2 = 2$ entonces $x$ no puede ser racional.

Lo importante es que aún no hemos demostrado que tales $x$ efectivamente existe (para demostrarlo necesitamos el axioma de completitud, que todavía no tenemos), sólo que si resulta que existe debe ser irracional, por lo que no puedo decir que $\sqrt{2}$ es una solución a este problema todavía. ¿Tengo razón o estoy siendo demasiado exigente?

Answer 1

Tienes razón. Hasta ahora ni siquiera tienes suficientes axiomas para demostrar que tu sistema numérico es único hasta el isomorfismo -- de hecho, cualquier campo, incluyendo $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, F_2,$ etc. todos los satisfacen. No se puede probar ni refutar la existencia de tal $\alpha$ .