Si realmente te apetece volver a lo básico, te aconsejo que te descargues Geogebra, y traces algunas funciones.
Por ejemplo, cree 4 deslizadores ( $a$ , $b$ , $c$ y $d$ ) haciendo " $a = 1$ ", etc, en una celda determinada. A continuación, cree una función $f$ escribiendo " $cos(x)$ " en una quinta celda. Por último, cree una función $g$ escribiendo " $af(cx + d) + b$ " en una sexta celda.
Al cambiar los deslizadores, te darás cuenta de que un cambio en la entrada de $f$ (cambiando $c$ & $d$ ) afecta a las cosas sobre el $x$ -eje/horizontal; mientras que el cambio de la salida de $f$ (cambiando $a$ & $b$ ) afecta a las cosas en el $y$ -eje, verticalmente. También verás que las sumas son traslaciones/desplazamientos, mientras que las multiplicaciones son escalamientos/dilataciones. Varía tu $f$ utilizando otra cosa, como $exp$ o $x^3$ lo que sea.
Esto le dará una comprensión bruta para las funciones reales ( $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ).
Ahora abre la calculadora 3D de Geogebra. Intenta inventar algunas funciones que sean de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ escribiendo algo parecido a " $exp(x) + x*y$ ". Una vez que hayas experimentado con eso, intenta tener otra función del mismo tipo. Vea lo que la adición " $x+y$ " y la multiplicación " $x*y$ ". Busca cosas como la silla de montar del mono, etc.
En cuanto a las ecuaciones funcionales: los puntos donde $f(u) = g(u)$ corresponden al punto de intersección entre sus superficies. También puedes trazar la función "f(u) - g(u)": sus puntos que pasan por el plano xy tienen salida cero, y deben corresponder a las mismas entradas que provocan la intersección.
Para las ecuaciones generales, busca las ecuaciones cuádricas: cómo dibujar una esfera centrada en un punto $p$ o un cono de luz centrado en $(0, 0, 0)$ en $\mathbb{R}^3$ ?
Una vez hecho esto, estudia las funciones de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ . Un ejemplo que me gusta dar a mis alumnos es $(x, 0.2 x^2, cos(x))$ . Mirando hacia abajo en el eje y y en el eje z, puedes ver claramente cómo tanto 0,2x² como el cos(x) se combinan en una curva continua común.
Por último, comprenda que todo conjunto de soluciones a una ecuación diferencial es una foliación: una partición del espacio de Entrada*Salida (por ejemplo, su $\mathbb{R}^2$ plano para las funciones $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ) en curvas no intersecantes. El ejemplo más básico es la solución de la ecuación $f'(x) = f(x)$ que da lugar a la familia de funciones que son exponenciales de la forma $y_0 e^{x - x_0}$ . Haga $y_0$ y $x_0$ deslizadores, y tratar de discernir la foliación subyacente expresada por esta ecuación diferencial. ¿Puedes ver que las curvas no se intersectan? ¿Puedes ver que cubren todo el espacio?
Una vez hecho esto, creo que tendrás la creatividad para explorar los problemas con los que estás más familiarizado (y que te interesan más) usando Geogebra.
Espero que esto ayude, y mucha suerte.
