Cociente de subgrupos puros

Question

Sigo el libro de texto de Rotman "Introducción al álgebra homológica".

Este es el ejercicio 3.45 del libro.

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano, y sea $S\subseteq G$ sea un subgrupo puro. Si $S\subseteq H\subseteq G$ , demuestre que $H$ es un subgrupo puro de $G$ si y sólo si $H/S$ es un subgrupo puro de $G/S$ .

Intenté resolverlo pero no pude. Si usted sabe, por favor explique acerca de eso.

Answer 1

Para empezar, permítanme que les haga una observación muy importante:

Propuesta: Un grupo abeliano dado $G$ que es plano como un $\mathbb{Z}$ -módulo y subgrupo $H \leqslant G$ entonces $H$ es un subgrupo puro de $G$ si y sólo si $G/H$ es un piso $\mathbb{Z}$ -módulo.

Ya que para $K \leqslant H \leqslant G$ canónicamente tienes $G/H \approx (G/K)/(H/K)$ En el caso de la mayoría de los países de la Unión Europea, esto ofrece una visión de los enunciados equivalentes en el ejercicio.

Es posible dar una respuesta doméstica, basada en la definición y en algunos hechos elementales sobre los mapeos: recordemos que en general cualquier mapa $f: A \to B$ entre conjuntos arbitrarios inducirá una equivalencia canónica $R$ en $A$ definido por $xRy \Leftrightarrow f(x)=f(y)$ denotaremos esta equivalencia por $\mathrm{Eq}(f)$ .

Recordemos también que, dados los subconjuntos $X, Y \subseteq A$ de tal manera que digamos $X$ sea saturado con respecto a $\mathrm{Eq}(f)$ (esto significa que junto con cualquier elemento $x$ , $X$ contiene toda la clase de $x$ con respecto a $\mathrm{Eq}(f)$ ), entonces tenemos $$f(X \cap Y)=f(X) \cap f(Y) \tag{satint}$$

Consideremos ahora un grupo abeliano $G$ junto con los subgrupos $K \leqslant H \leqslant G$ . Asumiendo que $H$ es puro en $G$ significa por definición que para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ tenemos $$nG \cap H=nH \tag{1}$$

Introducir la suryección canónica $\sigma: G \to G/K$ y observe que su equivalencia canónica no es otra que la congruencia módulo $K$ con respecto a la cual $H$ está saturado (ya que $H \supseteq K$ ); por lo tanto, al aplicar $\sigma$ a la relación (1) y teniendo en cuenta que la relación (satint) se mantiene aquí, se obtiene $$n(G/K) \cap (H/K)=n(H/K) \tag{2}$$

que no es otra cosa que la declaración de la pureza de $H/K$ como un subgrupo de $G/K$ .

Por el contrario, si además de la pureza de $K$ en $G$ se asume esta última pureza que involucra a los cocientes, expresada por la relación (2), la misma propiedad (satint) nos dice que esta relación se convierte equivalentemente en $$\sigma(nG \cap H)=\sigma(nH) \tag{3}$$

y tomando imágenes inversas a través de $\sigma$ se obtiene $$(nG \cap H)+K=nH+K \tag{4}$$

Tomando en relación (4) la intersección con el subgrupo $nG$ y teniendo en cuenta la propiedad de la modularidad (que el entramado de subgrupos de $G$ posee), se tiene

$$(nG \cap H)+(nG \cap K)=nH+(nG \cap K)$$

que por la pureza de $K$ en $G$ se reduce a

$$(nG \cap H)+nK=nH+nK \tag{5}$$

Ya que claramente $nK \leqslant nG \cap H, nH$ la relación (5) lleva de inmediato a la conclusión de que $H$ es puro en $G$ .