Atlas orientado sobre un círculo

Question

Estoy tratando de encontrar un atlas orientado en el círculo $S^1$ es decir,

Quiero encontrar un atlas para $S^1$ tal que para dos gráficos superpuestos cualesquiera $(U,s)$ y $(V,t)$ del atlas, la derivada $d s/d t$ es positivo en todas partes en $U\cap V$ .

Puedo definir un atlas $\mathfrak U = \{(U_i,\phi_i)\}_{i=1}^4$ para $S^1$ dejando $U_1,U_2$ sean los semicírculos superior e inferior, respectivamente, y definiendo $\phi_i(x,y) = x$ para $i = 1,2$ , y dejando $U_3,U_4$ sean los semicírculos derecho e izquierdo, respectivamente, y definiendo $\phi_i(x,y) = y$ para $i = 3,4$ .

Sin embargo, creo que este atlas no está orientado, ya que, por ejemplo, tomando los gráficos superpuestos $(U_1,x)$ y $(U_3, y)$ de $\mathfrak U$ tenemos $y = \sqrt{1 - x^2}$ y $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \text, $$ que no es positivo en $U_1\cap U_3$ .

¿Cómo puedo modificar $\mathfrak U$ ¿para solucionar este problema? Por ejemplo, ¿debo redefinir $\phi_3(x,y) = -y$ y luego seguir comprobando las otras siete derivadas? (Tengo que comprobar los pares $dy/dx$ y $dx/dy$ para cada cuarto de círculo).

Answer 1

La idea dada (sobre la inversión de las cartas) funcionará, pero tendrás que cambiar los signos de dos cartas, ya que dos de las cuatro están orientadas en el sentido de las agujas del reloj y dos en sentido contrario.

Tenga en cuenta que puede cubrir un círculo (o de hecho, $\Bbb S^n$ para cualquier $n$ ) utilizando sólo dos tablas (aunque no dos tablas gráficas, como en la pregunta): En efecto, la proyección estereográfica $$(x, y) \mapsto \frac{y}{x + 1}$$ es un homeomorfismo $\Bbb S^1 - \{(-1, 0)\} \to \Bbb R$ y el dominio omite sólo un punto del círculo. (Este es el mapa que mapea un punto $z$ a la pendiente de la línea que pasa por $z$ y $(-1, 0)$ .)