En términos de formas diferenciales, la integración estándar que aprendiste en el cálculo se trata en realidad de integrar $1$ -formas: a saber, la $1$ -forma $f(x) \, dx$ .
En general, se integra $n$ -forma sobre $n$ -de la Tierra. Por lo tanto, un $0$ -forma se integraría sobre un $0$ -de un conjunto discreto de puntos. $P$ , tomados con orientación (es decir, a cada punto se le asigna un signo). Entonces tenemos
$$\int_P f = \sum_{p \in P} f(p) \sigma(p)$$
donde $\sigma(p)$ es el signo asignado a $p$ .
Recuerda que el teorema de Stokes para las formas diferenciales dice que
$$ \int_{\partial M} f = \int_M df $$ donde $\partial M$ es el límite del colector $M$ .
Si consideramos el caso en el que $M$ es el intervalo $[a,b]$ su límite está formado por los dos puntos $a$ y $b$ , donde $b$ tiene signo positivo y $a$ tiene signo negativo. Así que el teorema de Stokes junto con la definición anterior de integral de dimensión cero dice que $$ \int_{[a, b]} df = \int_{[a, b]} f'(x) \, dx = f(b)-f(a) $$ que no es más que el teorema fundamental ordinario del cálculo.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que esto no es útil para realizar integrales. Dada una función $g$ en el intervalo, todavía hay que encontrar el $f$ tal que $g(x) \, dx = df$ es decir, tal que $f'(x)=g(x)$ . Esto es exactamente lo que se necesita para integrar $g$ antes de saber nada sobre las formas diferenciales. La manera correcta de entender este hecho es como la razón por la que la gente llama a la versión general del teorema de Stokes un $n$ -generalización del teorema fundamental del cálculo, no como una forma de facilitar los problemas concretos de integración.
