Esto es bastante fácil de mostrar para $m=24,$ y estoy bastante seguro de que si $ab\equiv -1\pmod{p^{n}}$ hace no implica $a+b\equiv 0\pmod{p^{n}}$ entonces $ab\equiv -1\pmod{p^{n+k}}$ no implica $a+b\equiv 0\pmod{p^{n+k}}$ para cualquier número entero positivo $k$ tampoco. No he conseguido encontrar números más grandes que $24,$ Entonces, ¿cómo puedo demostrar que no existe $m>24$ ? Si existe $m>24,$ cómo lo muestro (y cómo genero $m$ que cumplen esta condición)?
Respuesta
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Supongamos que se cumplen ambas condiciones. Entonces $a\equiv -b \pmod{m}$ y por lo tanto $$a^2 \equiv -ab \equiv 1 \pmod{m},$$
y así $a^2 - 1 = mx.$ Por tanto, basta con que exista un número que no sea su propia inversa. Para ello, el Teorema Chino del Resto es de gran utilidad.
Está claro que, para cualquier primo además de $2, 3,$ hay algún número que no es su propia inversa (sólo hay que tener en cuenta que si $a^2 - 1 = px,$ entonces $(a-1)(a+1) = px,$ y así $a\equiv 1\pmod{p}$ o $a\equiv -1\pmod{p}.$ )
Entonces, supongamos que algún primo $p > 3$ divide $m,$ y que $p^n$ es la mayor potencia de $p$ que divide $m.$ Entonces, encuentra un residuo mod $m$ que es congruente con $2$ mod $p^n$ pero $1$ módulo de cada una de las potencias primarias que dividen $m.$ Este residuo será invertible ya que es relativamente primo a $m$ y, por tanto, tienen un único inverso mod $m.$ Pero está claro que no puede ser su propia inversa, ya que es congruente con $2$ mod $p^n$ pero $2$ no es su propia inversa mod $p^n$ desde $p > 3,$ y por lo tanto la ecuación $a+b \equiv 0 \pmod{m}$ no se cumple, ya que si lo hiciera los cálculos anteriores mostrarían que $a$ era su propia inversa.
